範疇打包了什麼
整個第一卷你研究的都是結構連同尊重它的映射:群配上群同態,環配上環同態,向量空間配上線性映射。每一次,映射的複合都滿足結合律,每個物件都有恆等映射。範疇正是把這一模式單獨命名、加以研究——我們不再盯著群的內部,而是開始觀察事物之間的箭頭如何行事。
一個範疇 C 由一族物件構成,並對每一對有序物件 (A, B) 配一族態射 Hom(A, B),畫作箭頭 f : A → B。複合法則把 f : A → B 與 g : B → C 送到 g∘f : A → C,而每個物件 A 配一個恆等態射 id_A。兩條公理統御一切:複合滿足結合律,h∘(g∘f) = (h∘g)∘f;恆等態射是單位元,f∘id_A = f = id_B∘f。
你早已身處其中的例子
- Set:物件是集合,態射是函數。最樸素的本營範疇——其餘一切都映入其中。
- Grp、Ring、Vect_k、Mod_R:物件是群/環/k-向量空間/R-模;態射是保結構映射。它們是代數的主力。
- 把單個群 G 看成範疇:一個物件 •,每個 g ∈ G 對應一個態射,複合即群運算。恆等與結合律恰是群公理。群就是一個單物件範疇,其中每個箭頭都可逆。
- 把偏序集 (P, ≤) 看成範疇:物件是元素;當 x ≤ y 時恰有一個箭頭 x → y,否則沒有。複合即傳遞性。序理論就成了任意兩物件間至多一個箭頭的範疇論。
請注意這張網鋪得多廣:同一套公理既覆蓋整個群的宇宙,也覆蓋單個群;既覆蓋集合範疇,也覆蓋一個樸素的偏序集。這份廣度正是要害——關於範疇證明的一條定理,一舉適用於它們全體。
圖與同構
當同一對物件之間的每條有向路徑給出相等的複合時,稱圖交換。這是範疇論用圖像陳述等式的方式。態射 f : A → B 稱為[[isomorphism|同構]],若存在 g : B → A 使 g∘f = id_A 且 f∘g = id_B。在 Grp 中這還原為群同構;在 Set 中是雙射;在偏序範疇中,同構迫使 x ≤ y 與 y ≤ x,即 x = y——只有恆等是同構。
An iso defined purely by arrows (no elements):
f : A -> B is iso iff exists g : B -> A with
g o f = id_A and f o g = id_B.
The two triangles that must commute:
f g
A ------> B B ------> A
\ | \ |
id_A\ |g id_B\ |f
\ v \ v
----> A ----> B
Contrast with Set: 'bijective' is stated with elements
(injective + surjective). The categorical 'has a two-sided
inverse arrow' needs NO elements -- it works in Grp, Top,
any category. Same notion, element-free.