質數如何分裂：分歧與判別式

質數在上方可以做的三件事

固定一個次數為 n = [K:Q] 的數域 K 和一個有理質數 p。在 O_K 中，理想 (p) 一般不再是質的；根據理想的唯一分解，它分解為 (p) = p_1^(e_1) ··· p_g^(e_g)，其中 p_i 是互異的質理想。每個 p_i 附帶兩個整數：分歧指數 e_i（它的指數）和慣性次數 f_i = [O_K/p_i : F_p]，即剩餘有限域擴張在 F_p 上的次數。

透過戴德金分解定理計算分裂

當 O_K = Z[θ]，且 θ 的極小多項式為 m(x) 時，有一個優美而機械的方法：對不整除指數的質數 p，將 m(x) 模 p 在 F_p 上分解為不可約因子。(p) 的分解恰好與之對應——每個次數為 f、出現冪次為 e 的不可約因子，給出一個慣性次數為 f、分歧指數為 e 的質理想 p_i。

K = Q(i),  O_K = Z[i],  m(x) = x^2 + 1.   Factor (p):

p = 5:  x^2+1 ≡ (x+2)(x+3) (mod 5)   [2*3=6≡1, distinct]
   ==> (5) = (5, i+2)(5, i+3) = p1 p2,  e=f=1, g=2  -> SPLIT
        (indeed 5 = (2+i)(2-i))

p = 3:  x^2+1 irreducible (mod 3)   [no root: 0,1,1]
   ==> (3) stays prime,  e=1, f=2, g=1  -> INERT

p = 2:  x^2+1 ≡ (x+1)^2 (mod 2)
   ==> (2) = (2, i+1)^2 = p^2,  e=2, f=1, g=1  -> RAMIFIED
        (indeed 2 = -i(1+i)^2,  and 1+i generates p)

Check e*f*g = n = 2 in every case.  And note 2 | disc(Z[i]) = -4:
the ONLY ramified prime is 2 -- the one dividing the discriminant.

對 x²+1 模 p 分解即可讀出高斯整數的分裂/慣性/分歧，而整除判別式的 2 是唯一分歧的質數。

判別式確定分歧

為什麼 2 是上方唯一分歧的質數？因為[[discriminant-of-a-number-field|判別式]] d_K，它是由整基構造出的 K 的整數不變量（推廣了多項式判別式）。乾淨的定理：質數 p 在 K 中分歧當且僅當 p 整除 d_K。由於只有有限多個質數整除 d_K，分歧是一種有限的、可控的現象——幾乎所有質數都不分歧。