分式理想使理想成為一個群
普通理想可以相乘，但沒有逆元——你無法做除法。修復方法是擴大：O_K 的[[fractional-ideal|分式理想]]是 K 的一個非零有限生成 O_K-子模，等價於 (1/d)·I，其中 I 是普通理想，d 在 O_K 中。在戴德金整環中，每個非零分式理想都可逆：其逆為 { x ∈ K : x·a ⊆ O_K }。因此非零分式理想在乘法下構成一個阿貝爾群 J_K，單位元為 O_K。
根據理想的唯一分解，J_K 實際上是質理想上的自由阿貝爾群：每個分式理想都是有限乘積 ∏ p^(n_p)，指數 n_p 為整數（允許負指數）。這使得 J_K 中的計算變成對指數向量的記賬。
對主理想取商：類群
J_K 內部坐落著主分式理想 P_K = { (x) : x ∈ K* }，它們構成一個子群（因為 (x)(y) = (xy)）。商 Cl(K) = J_K / P_K 就是[[ideal-class-group|理想類群]]。兩個理想屬於同一類當且僅當它們相差一個主理想的乘法——即 a = (x)·b 對某個 x ∈ K。這是一種商式構造，只不過作用於群。
有限性與一個類數計算實例
深刻的定理是 Cl(K) 有限——透過閔可夫斯基界證明，這是一個數的幾何估計，保證每個理想類都包含一個範數至多為 M_K 的整理想。因此要求出 Cl(K)，你只需分解有限多個質數 p ≤ M_K，並追蹤它們之上的質理想的類。
- 由判別式以及實/複嵌入的個數計算閔可夫斯基界 M_K。
- 列出所有 p ≤ M_K 的有理質數；將每個 (p) 分解為 O_K 的質理想。
- Cl(K) 由這些質理想的類生成；透過識別主理想（小範數元素）找出它們之間的關係。
K = Q(sqrt(-5)), O_K = Z[sqrt(-5)], disc = -20. Minkowski bound M_K = (4/pi) * sqrt(20) / 4 ≈ 2.84. ==> only need primes p <= 2, i.e. p = 2. Factor (2): x^2+5 ≡ x^2+1 ≡ (x+1)^2 (mod 2) ==> (2) = p^2 with p = (2, 1+sqrt(-5)). Is p principal? If p = (a+b sqrt(-5)) then N(p) = 2 = a^2+5b^2, which has no integer solution. So p is NON-principal: [p] != 1. But p^2 = (2) is principal, so [p]^2 = 1 in Cl(K). Cl(K) is generated by [p] of order 2. ==> Cl(Q(sqrt(-5))) ≅ Z/2Z, class number h_K = 2. Reading: h_K = 2 != 1 confirms Z[sqrt(-5)] is NOT a UFD, exactly matching the 6 = 2*3 = (1+s)(1-s) failure.