數域及其內部的整數
數域是有理數 Q 的一個有限域擴張 K——即 [K:Q] 是一個有限數，並且根據本原元定理，我們可以將 K 寫成 K = Q(α)，其中 α 是單個代數數。除 Q 本身外，最基本的例子是二次域，如 Q(√-5) 或 Q(i)。數論存在於這些域內部，但不在整個 K 上：算術發生在一個特殊的子環中，它扮演著 Z 在 Q 中所扮演的角色。
代數整數是這樣一種代數數：它在 Q 上的極小多項式具有整數係數且是首一的。等價地，α 是代數整數當且僅當它滿足 Z[x] 中的某個首一多項式。因此 √2（x²-2 的根）和黃金比例（x²-x-1 的根）是代數整數，而 1/2（2x-1 的根，在 Z 上不是首一的）則不是。這恰好就是在 Z 上整的概念——見整擴張。
為什麼代數整數構成一個環
兩個代數整數之和或之積仍是代數整數，這一點並不顯然——把兩個首一多項式的根相加，並不顯然給出一個首一關係。乾淨的論證是模論的：α 是代數整數當且僅當子環 Z[α] 是有限生成的 Z-模。如果 α、β 都是整的，那麼 Z[α,β] 在 Z 上有限生成，因此它的每個元素——包括 α+β 和 αβ——都落在一個有限生成的 Z-模中，從而是整的。這就是整閉包中標準的「整閉包是環」的論證。
因此 K 內部的代數整數構成一個環，即整數環 O_K。它是 Z 在 K 中的整閉包。抽象地說，O_K 是秩為 n = [K:Q] 的自由 Z-模；它的一組 Z-基稱為整基。一旦有了整基，你就可以完全在 O_K 內部進行真正的算術——加法、乘法、分解。
實例：二次域的整數環
取 K = Q(√d)，其中 d 是無平方因子整數。一個樸素的猜測是 O_K = Z[√d]，但這有一半時候是錯的。設 α = a + b√d，其中 a、b 為有理數。它的共軛是 a - b√d，因此跡 = 2a，範數 = a² - d b²。元素 α 是代數整數當且僅當 2a 與 a² - db² 都是普通整數。追蹤這個同餘關係會揭示出對 d mod 4 的依賴。
K = Q(sqrt(d)), d squarefree. alpha = a + b*sqrt(d).
min poly: x^2 - (2a)x + (a^2 - d b^2).
alpha integral <=> 2a in Z and a^2 - d b^2 in Z.
Let 2a = m, 2b = n (so a=m/2, b=n/2). Then
4(a^2 - d b^2) = m^2 - d n^2 must be ≡ 0 (mod 4).
m^2 - d n^2 ≡ 0 (mod 4).
Case d ≡ 2,3 (mod 4): forces m,n both even => a,b in Z.
==> O_K = Z[sqrt(d)], integral basis {1, sqrt(d)}.
Case d ≡ 1 (mod 4): m,n may both be odd; m ≡ n (mod 2) works.
==> O_K = Z[(1+sqrt(d))/2], integral basis {1, (1+sqrt(d))/2}.
Examples:
d = -1 (≡ 3): O_K = Z[i] (Gaussian integers)
d = -5 (≡ 3): O_K = Z[sqrt(-5)]
d = -3 (≡ 1): O_K = Z[(1+sqrt(-3))/2] (Eisenstein integers)
d = 5 (≡ 1): O_K = Z[(1+sqrt(5))/2] (golden ratio is an integer!)