零點定理：封印這部字典

I 與 I(V(I)) 為何不同：根

考慮 k[x] 中的 I = (x^2)。則 V(I) = {0}，是 x^2 = 0 的單點。但 I({0}) = (x)，嚴格大於 (x^2)：函數 x 在原點為零，儘管 x 本身不在 I 中。障礙恰恰是冪：只要某個冪 f^m 落在 I 中，f 就在 V(I) 上為零。這樣的 f 的集合是根 √I = { f : 對某個 m ≥ 1 有 f^m ∈ I }。

若 √I = I 則稱理想 I 為 根理想。兩個事實是現成的：每個素理想都是根理想，且 √I 總是包含 I 的理想。幾何上 V 看不出 I 與 √I 的差別，因為 f 與 f^m 有相同的零點集。自然的問題是：根是否是唯一的障礙。

零點定理的兩種形式

希爾伯特的回答是肯定的——只要 k 是代數封閉體。這就是零點定理（『零點軌跡定理』），它有兩副面孔。

Let k be ALGEBRAICALLY CLOSED, R = k[x_1, ..., x_n].

WEAK Nullstellensatz.
  If I is a proper ideal (I != R) then V(I) is NONEMPTY.
  Contrapositive: the only way to cut out the empty set is
  with the whole ring.  Equivalently, every MAXIMAL ideal
  of R has the form  m_p = (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n)
  for a unique point  p = (a_1, ..., a_n) in A^n.

STRONG Nullstellensatz.
  For every ideal I:        I( V(I) ) = sqrt(I).

How STRONG follows from WEAK -- the 'Rabinowitsch trick':
  Suppose g vanishes on V(I), with I = (f_1,...,f_r).
  Add a new variable t and the polynomial  1 - t*g  to the
  list in R[t].  These have NO common zero (where the f_i
  vanish, g vanishes, so 1 - t*g = 1 != 0).  By WEAK, the
  ideal (f_1,...,f_r, 1 - t*g) = (1).  Write 1 as a combo,
  then substitute t = 1/g and clear denominators:
  a power  g^m  lands in I.  Hence g in sqrt(I).   QED

弱形式：空零點集迫使單位理想。強形式：I(V(I)) = √I，由 Rabinowitsch 技巧導出。

完善的字典

現在對應是確切的。在代數封閉體上，V 與 I 是 k[x_1,…,x_n] 的 根理想 與 A^n 中 仿射簇 之間互逆、反序的一一對應。在它之下，素理想對應不可約簇（第三篇），極大理想對應單點。