不可約即素
非空簇 X 稱為 不可約，若它不能寫成 X = X_1 ∪ X_2，兩個真子簇之聯集。兩條座標軸之聯集 V(xy) 是可約的；單條直線是不可約的。奇妙之處在於，這個幾何概念有一個乾淨的代數判據。見 不可約簇。
THEOREM. X irreducible <=> I(X) is a PRIME ideal
<=> k[X] is an INTEGRAL DOMAIN.
Why prime <=> irreducible (the key direction):
Suppose I(X) is NOT prime: f*g in I(X) but f,g not in I(X).
Then X = (X cap V(f)) union (X cap V(g)):
- every point of X kills f*g, so kills f OR kills g;
- neither piece is all of X, since f,g do not vanish on X.
So X is reducible. Run the argument backwards for the
converse. And k[X] = k[x]/I(X) is a domain exactly when
I(X) is prime -- the standard ring fact.
Check V(xy): xy in (xy) but x,y not in (xy), so (xy)
is NOT prime -- matching the visibly reducible axes.
Whereas (xy) ... its prime components are (x) and (y),
the two axes.每個簇都分解成不可約分支
因為 k[x_1,…,x_n] 是諾特環，簇上的降鏈條件成立，標準論證迫使每個簇成為有限聯集 X = X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r，各 X_i 不可約且互不包含。這些 X_i 是 X 的 不可約分支，且唯一。這是理想 I(X) 的 準素分解 的幾何投影。
維數，三種殊途同歸的定義
簇有多大？幾何上，X 的 維數 是使得存在不可約閉子集鏈 X_0 ⊊ X_1 ⊊ ⋯ ⊊ X_d ⊆ X 的最大 d。經字典翻譯，這就是 k[X] 的 Krull 維數：素理想最長鏈的長度。同一個數，兩種語言。見 簇的維數。
對不可約 X，還有第三種、極易計算的描述：dim X 等於 k[X] 的分式域在 k 上的 超越次數——『代數自由』的座標個數。諾特正規化 把這具體化：它把 k[X] 表示成多項式環 k[y_1,…,y_d] 的有限擴張，於是 X 有限地覆蓋 A^d，而 d 就是維數。