座標環與 Zariski 拓樸

映射 I：從點回到多項式

第一篇用 V 把理想送到點集。現在反轉箭頭。對任意子集 X ⊆ A^n，定義 I(X) = { f ∈ k[x_1, …, x_n] : 對所有 p ∈ X 都有 f(p) = 0 }。這就是簇 X 的理想——X 的點所滿足的全部多項式關係的集合。它確實是理想：若 f、g 在 X 上為零則 f + g 也為零，而對任意多項式 h，h·f 也為零。見簇的理想。

這兩個運算幾乎互逆。總有 V(I(X)) ⊇ X，而等號恰當 X 本身是簇時成立——因此 V(I(X)) 是包含 X 的最小簇，即它的閉包。又總有 I ⊆ I(V(I))。第二個包含中確切的差距，正是零點定理的全部內容，留到第四篇。

座標環：簇上的函數

兩個多項式在 X 上限制為同一函數，恰當它們的差落在 I(X) 中。於是 X 上的多項式函數構成商環 k[X] = k[x_1, …, x_n] / I(X)，即 X 的 座標環。它的元素是正則函數——你能在簇上測量的多項式值觀測量。這個環是幾何對象的代數化身：關於 X 的一切都編碼在 k[X] 中。

Example: the parabola  X = V(y - x^2)  in A^2.

  k[X] = k[x, y] / (y - x^2).

In the quotient, y == x^2, so every class has a unique
representative that is a polynomial in x ALONE:
      a0 + a1*x + a2*x^2 + ...     (replace each y by x^2)
Hence the map  k[X] -> k[t],  x |-> t, y |-> t^2,  is an
ISOMORPHISM.  Geometrically: the projection (x,y) |-> x
identifies the parabola with the line A^1.

Contrast: the node  Y = V(y^2 - x^3)  in A^2.
  k[Y] = k[x, y] / (y^2 - x^3).
Now x and y are tangled: y^2 = x^3 cannot be solved away,
and t |-> (t^2, t^3) maps A^1 ONTO Y but is NOT an
isomorphism of rings -- k[Y] sits inside k[t] as the
subring  k[t^2, t^3]  (missing the element t).
The ring SEES the cusp at the origin that the picture shows.

座標環洞察幾何：拋物線暗中是一條直線，而尖點三次曲線不是。

Zariski 拓樸

第一篇中 V 的閉性質恰好就是拓樸閉集的公理：A^n 與 ∅ 是簇，有限個簇的聯集是簇，任意多個簇的交是簇。把簇規定為閉集，便在 A^n 上（並經限制在任意簇上）定義了 Zariski 拓樸。見 Zariski 拓樸。