仿射空間與零點集
固定一個體 k。k 上的 仿射 n 維空間 記作 A^n，就是 n 元組 (a_1, …, a_n) 的集合 k^n——但我們刻意剝去向量空間的結構。這裡沒有特殊的原點，沒有我們在意的加法；A^n 是一個舞台，我們將在其上畫出由多項式切割出的圖形。仔細的陳述見 仿射空間。
給定 多項式環 k[x_1, …, x_n] 中的一組多項式 S，它的 零點集 是 V(S) = { p ∈ A^n : 對每個 f ∈ S 都有 f(p) = 0 }。形如此的集合就是 仿射簇。口號是：簇就是一族多項式的公共零點軌跡。請把 零點集 與 仿射簇 一起讀——它們是同一想法的兩半。
最初例子的畫廊
我們來實際看幾個。在 A^2 中，單個多項式 x^2 + y^2 − 1 切出一個圓；y − x^2 切出一條拋物線；xy 切出兩條座標軸的聯集（一個點消滅 xy 當且僅當 x = 0 或 y = 0）。我們已經看到既有『一整塊』的簇，也有明顯裂成幾塊的簇——這是 不可約性 的種子，將在第三篇研習。
Work in A^3 over an algebraically closed field k.
The TWISTED CUBIC is the image of t |-> (t, t^2, t^3).
As a variety it is V(I) for the ideal
I = ( y - x^2, z - x^3 ).
Check a point lies on it: if y = x^2 and z = x^3, set t = x;
then (x, y, z) = (t, t^2, t^3). Conversely every such triple
kills both generators. So the curve = V(y - x^2, z - x^3).
Note: ONE equation in A^3 generally gives a SURFACE (2-dim);
to pin down a CURVE (1-dim) in A^3 we needed TWO equations.
Each independent equation tends to drop dimension by 1.
Warning that pays off later: the ideal of this curve is
NOT just (y - x^2, z - x^3) plus the obvious; e.g. the relation
x*z - y^2 = x*x^3 - (x^2)^2 = 0
also vanishes on it. Generators of an ideal are subtle.V 的性質——字典的前半部
運算 V 反轉包含關係，並與理想的格結構相容。這些規則看似官僚，卻恰恰是讓 V 在第二篇成為一個拓樸的關鍵。
- 反序： 若 I ⊆ J 則 V(I) ⊇ V(J)。方程越多，解越少（或相等）。
- 聯集： V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J) = V(IJ)。任一塊上的點都消滅乘積；反之 IJ ⊆ I ∩ J 給出反向包含。
- 交： V(Σ I_α) = ∩ V(I_α)，對 任意 族成立，哪怕無窮。同時施加所有方程，等同於求所有解集的交。
- 兩端： V(0) = A^n（全空間），V(1) = ∅（單位理想什麼都切不出——沒有點能讓 1 為零）。