兩個運算：環
群只有一個運算。但整數有*兩個*相互咬合的運算——加法與乘法——這個更豐富的環境就是[[ring|環]]。環是帶兩個運算的集合，其中：加法使它成為[[abelian-group|阿貝爾群]]（所以減法總能進行），乘法滿足結合律，且二者由[[distributive-property|分配律]] a(b + c) = ab + ac 聯繫起來。整數、實係數多項式，以及 n×n 矩陣都是環。
注意普通的環*不*承諾什麼。乘法不必可交換（矩陣環就不），不必有乘法單位元 1，即便有，多數元素也沒有乘法逆元——在整數內你無法除以 2 而仍留在其中。環是刻意寬鬆的；我們透過添加條件來收緊它，每多要求一個條件，就劃出一個更小、更規整的類。
收緊：整環與體
第一次細化：禁止乘法中的意外。[[integral-domain|整環]]是帶 1 的交換環，其中兩個非零元素之積絕不為零。最後這條規則——沒有零因子——正是允許消去的根據：若 ab = ac 且 a ≠ 0，便可斷定 b = c。整數是原型。模 6 的鐘錶環*不*是整環，因為在那裡 2·3 = 0，儘管兩個因子都不為 0。
第二次細化：要求除法。[[field|體]]是帶 1 的交換環，其中*每個*非零元素都有乘法逆元——於是加、減、乘、除（零除外）都能自由進行。有理數、實數和複數都是體；整數不是，因為 2 沒有整數逆元。每個體都是整環，但反過來不成立——整數是一個恰好差一步成為體的整環。
When is the clock Z/nZ a FIELD? Need every nonzero a to have an inverse: some b with a·b ≡ 1 (mod n). Mod 6 (n = 6, composite): 2·1=2 2·2=4 2·3=0 2·4=2 2·5=4 → 2 NEVER gives 1 also 2·3 ≡ 0 with 2,3 ≠ 0 → zero divisors so Z/6Z is NOT even an integral domain, let alone a field. Mod 5 (n = 5, prime): find each inverse 1·1 ≡ 1 so 1⁻¹ = 1 2·3 = 6 ≡ 1 so 2⁻¹ = 3 (and 3⁻¹ = 2) 4·4 = 16 ≡ 1 so 4⁻¹ = 4 every nonzero element has an inverse → Z/5Z IS a field. Rule: Z/nZ is a field exactly when n is PRIME.
比較結構：同態與同構
一旦有了許多結構，你就想比較它們。[[homomorphism|同態]]是兩個結構之間保持運算的映射：對群映射，f(a ∗ b) = f(a) ∗ f(b)；對環映射，它還尊重乘法。它不必是一一的，也不必映滿全部——它只是把結合的*模式*從一個世界搬進另一個世界。把每個整數送到它模 n 餘數的映射就是一個環同態：先加再取餘，還是先取餘再加，結果都一樣。
[[isomorphism|同構]]是既是同態又是完美配對的映射——一一且映滿，其逆也是同態。當兩個結構同構時，它們是同一個結構換了身衣裳：把一個的元素重新貼標籤，就精確得到另一個。這正是凱萊定理裡「（同構於）」悄悄表達的意思——那個隱藏的對稱群是同構的孿生，而非字面相等。