置換就是洗牌
一個集合的置換就是它的一次重排——形式上，是從集合到自身的一一映射。設想三把標號 1、2、3 的椅子，三個人坐在上面。置換就是任何讓每個人重新就座、使每把椅子仍恰好坐一人的規則。對三個對象有 3! = 6 種做法，對 n 個有 n! 種——階乘數出它們的個數。
書寫置換的一種緊湊方式是輪換記號。輪換 (1 2 3) 表示「1 到 2，2 到 3，3 回到 1」——一個單環。輪換 (1 2) 表示「交換 1 和 2，3 不動」——一個對換。任何不出現在任一輪換裡的元素保持不動。什麼都不做、固定每個人的置換是[[identity-element-of-a-group|單位元]]，記作 e。
複合洗牌，以及為何順序重要
置換上的運算是複合：先做一次洗牌，再做一次。我們按從右到左閱讀，即函數複合的方式——在 σ ∘ τ 中，先用 τ，再用 σ。置換的複合永遠滿足結合律，單位元什麼都不做，每個置換都有逆元，所以 n 個對象的全體置換構成一個群。它就是[[symmetric-group|對稱群]] Sₙ，有 n! 個元素。
Work in S₃ on {1,2,3}. Let σ = (1 2 3) and τ = (1 2).
Compose right-to-left: apply the right one first.
σ ∘ τ (do τ, then σ):
1 --τ--> 2 --σ--> 3 so 1 → 3
2 --τ--> 1 --σ--> 2 so 2 → 2 (fixed)
3 --τ--> 3 --σ--> 1 so 3 → 1
result: 1→3, 3→1, 2 fixed = (1 3)
τ ∘ σ (do σ, then τ):
1 --σ--> 2 --τ--> 1 so 1 → 1 (fixed)
2 --σ--> 3 --τ--> 3 so 2 → 3
3 --σ--> 1 --τ--> 2 so 3 → 2
result: 2→3, 3→2, 1 fixed = (2 3)
σ ∘ τ = (1 3) but τ ∘ σ = (2 3)
(1 3) ≠ (2 3) → composition does NOT commute.這種不對稱是頭條新聞。當 n ≥ 3 時，Sₙ 不是阿貝爾群——你洗牌的順序會改變結果。這是你將遇到的最自然的非交換群，也正是第一篇裡把交換律單獨標為可選的原因。單個輪換的階等於它的長度：(1 2 3) 的階是 3（轉三圈回到起點），而像 (1 2) 這樣的對換階為 2。
為何對稱群居於中心
對稱群不只是眾多例子中的一個——它們是普適的。凱萊定理斷言：*每個*有限群都是（同構於）某個對稱群的一個子群。原因很直觀：群的每個元素透過結合作用，不過是把群自身的元素重新洗了一遍，而一次重洗就是一個置換。所以「群」這個抽象概念與「洗牌的集合」這個具體概念，歸根結底是同一個想法。