群中之群
子群是群 G 的一個子集 H，它在*同一個*運算下本身也是群。僅僅是一小堆元素還不夠；H 必須自給自足——在運算下封閉、含單位元、且含其每個成員的逆元。偶整數構成整數加法群的一個子群：兩個偶數相加得偶數，0 在其中，偶數的相反數也是偶數。
每個群至少有兩個子群：整個群本身，以及單元素集 {e}。它們是平凡子群；有趣的子群介於其間。一種可靠的構造方法：取任意元素 a，把它的所有冪 a、a²、a³…連同 e 和逆元收集起來。這個集合記作 ⟨a⟩，永遠是一個子群——由 a 生成的[[cyclic-group|循環]]子群——其大小恰好是 a 的階。
拉格朗日定理
回報來了。群中元素的個數是它的階，記作 |G|。[[lagranges-theorem|拉格朗日定理]]說：若 H 是有限群 G 的子群，則 |H| [[divisibility|整除]] |G|。階為 12 的群只可能有階為 1、2、3、4、6 或 12 的子群——絕不會有 5、絕不會有 7。被禁止的大小是絕對被禁止的。
證明背後的想法很優雅。取一個子群 H，挑某個元素 g，構造集合 gH = { g ∗ h : h 屬於 H }，從而把 H 在群裡「滑動」一圈。這些滑動後的副本叫陪集。兩個事實包辦了全部工作：每個陪集恰有 |H| 個元素（滑動不會縮小或拉伸），且任意兩個陪集要麼完全相同、要麼完全不相交。於是這些陪集把 G 鋪成大小相等、互不重疊的塊——而若能把大小為 |G| 的集合切成大小為 |H| 的塊，則 |H| 必整除 |G|。
G = (Z/6Z, ⊕), |G| = 6, identity 0
Subgroup H = {0, 2, 4} (the multiples of 2 mod 6), |H| = 3.
Check H is a subgroup: closed? 2⊕2=4 ✓ 2⊕4=0 ✓ 4⊕4=2 ✓
identity 0 ∈ H ✓ inverses: 2↔4, 0↔0 ✓
Cosets of H (slide H by each g = g ⊕ H):
0 ⊕ H = {0,2,4} }
2 ⊕ H = {2,4,0} } all equal to H itself
4 ⊕ H = {4,0,2} }
1 ⊕ H = {1,3,5} }
3 ⊕ H = {3,5,1} } all equal to {1,3,5}
5 ⊕ H = {5,1,3} }
Exactly TWO distinct cosets: {0,2,4} and {1,3,5}.
They tile G: 2 cosets × 3 elements each = 6 = |G|.
So |H| = 3 divides |G| = 6, with index 2. ✓ Lagrange值得記住的推論
拉格朗日立刻帶來紅利。由於 ⟨a⟩ 是大小等於 a 的階的子群，所以每個元素的階都整除 |G|——正是你在模 6 表裡看到的規律，其中每個階都是 1、2、3 或 6。兩條乾淨的推論隨之而來：
- 若 |G| 是質數 p，唯一可能的子群階是 1 和 p，所以任何非單位元都生成整個群：每個質數階的群都是[[cyclic-group|循環的]]。
- 把 a 與自身結合 |G| 次總是回到單位元：對每個 a 有 a^|G| = e，因為 a 的階整除 |G|。