乾淨地陳述定義
群是一個集合 G 連同一個滿足四條群公理的二元運算 ∗。這就是全部定義——不需要數，不需要幾何，只要一個集合和一種良好的成員結合方式。這四條公理就是上一篇裡的四條規則，如今被提升為*要求*。
- 封閉性：對 G 中所有 a、b，結果 a ∗ b 落在 G 中。
- 結合律：對 G 中所有 a、b、c，(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。
- [[identity-element-of-a-group|單位元]]：G 中存在 e，使每個 a 滿足 e ∗ a = a ∗ e = a。
- [[inverse-element|逆元]]：對 G 中每個 a，存在 a⁻¹ 屬於 G，使 a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e。
阿貝爾與循環：兩個友善的家族
如果運算還可交換——對所有 a、b 有 a ∗ b = b ∗ a——這個群就是[[abelian-group|阿貝爾群]]，得名於尼爾斯·亨利克·阿貝爾。加法下的整數是阿貝爾的；模 n 加法也是。許多重要的群*不是*阿貝爾的，例如三角形的對稱，其中操作的順序會改變結果。
如果單個元素能生成整個群，這個群就是[[cyclic-group|循環群]]：把一個選定的元素反覆與自身結合，最終產生*每一個*成員。模 4 加法是循環的，因為 1 生成它——1、1⊕1=2、1⊕1⊕1=3，然後回到 0。每個循環群都自動是阿貝爾的（反覆用一個元素不會引入任何順序衝突），但反過來不成立：並非每個阿貝爾群都是循環的。
元素的階
選一個元素，不斷把它與自身結合。在有限群中你最終必定回到單位元。所需的步數就是[[order-of-an-element|元素的階]]——使 aᵏ = e 成立的最小正整數 k（這裡 aᵏ 表示 a 與自身結合 k 次）。單位元的階永遠是 1。算幾個階就能看出群形狀的許多資訊。
Orders in (Z/6Z, ⊕), addition mod 6, identity e = 0 Here a^k means k copies of a added: a^k = (k·a) mod 6. element 1: 1, 2, 3, 4, 5, 0 → first hits 0 at k=6 order 6 element 2: 2, 4, 0 → first hits 0 at k=3 order 3 element 3: 3, 0 → first hits 0 at k=2 order 2 element 4: 4, 2, 0 (4,8mod6=2,12mod6=0) → k=3 order 3 element 5: 5,4,3,2,1,0 → k=6 order 6 element 0: already e order 1 Notice: every order (1,2,3,6) divides the group size 6. Also: elements 1 and 5 each have order 6 = |G|, so each one generates the whole group — it is CYCLIC.