一個新問題
多年來，代數意味著求出一個數。你把變數孤立出來，驗證方程的解，然後繼續。抽象代數問的是不同的東西：忘掉任何單個答案——遊戲的規則是什麼？取一組對象，以及把任意兩個結合成第三個的方法。單獨研究這種結合，你會發現迥然不同的世界——加法下的整數、三角形的對稱、鐘錶算術——竟共享同一副隱藏的骨架。
起點對象是二元運算。它從一個集合取兩個輸入，返回一個輸出——始終落在同一集合內。普通加法在整數上就是如此：輸入 3 和 5，返回 8，仍是整數。乘法也是。「把正方形的這兩個旋轉合起來」也是。二元一詞只表示「兩個輸入」；奧妙在於這個運算恰好遵守哪些規則。
運算可能遵守的四條規則
一旦有了封閉的運算，就開始審問它。四條性質反覆出現，你在算術裡已經認識它們——抽象代數只是把邊緣磨得更利。
- 封閉性：對集合中所有 a、b，a ∗ b 也在集合中。無法逃出。
- [[associative-property|結合律]]：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)。分組不改變結果，所以可以去掉括號。
- [[identity-element|單位元]]：存在元素 e，使每個 a 都滿足 a ∗ e = e ∗ a = a。它讓一切保持不變——加法是 0，乘法是 1。
- 逆元：對每個 a，存在一個與它結合得到單位元的元素——它的逆操作。
第五條性質，[[commutative-property|交換律]]（a ∗ b = b ∗ a），是可選的，而且常常不成立：先穿襪子再穿鞋，與先穿鞋再穿襪子並不相同。當一個運算遵守前四條規則時，我們離群只差一步；它是否也可交換，決定了這個群是否為「阿貝爾的」。注意我們從未指明 a 和 b *是什麼*。它們可以是數、運動或矩陣。這種刻意的含糊正是關鍵——只從規則出發證明的事，在每一個遵守這些規則的世界裡都成立。
讀懂運算表
當集合很小時，你可以把整個運算寫成一張表——每一對輸入、每一個輸出，一次呈現。下面是模 4 餘數「鐘錶」上的加法，記作 a ⊕ b = (a + b) mod 4。第 a 列第 b 行的格子放的是 a ⊕ b。
Addition mod 4 on the set {0, 1, 2, 3}
⊕ | 0 1 2 3
---+------------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2
Read it: 2 ⊕ 3 = (2+3) mod 4 = 5 mod 4 = 1.
Checks you can see at a glance:
closure — every entry is a 0,1,2,3 ✓
identity — row 0 and column 0 copy the headers, so 0 is the identity ✓
inverses — a 0 appears in every row, so each element has an inverse
0↔0, 1↔3, 2↔2, 3↔1 ✓
symmetric across the diagonal — the table is mirror-symmetric, so ⊕ commutes ✓