為何要把死亡率裝進一條公式？
到此為止，你已有兩種方式來描述一條生命如何凋零。[[life-table|生命表]]是經驗性的那種——一長列數字，每個整數年齡對應一個存活人數，直接從數據上讀出。[[force-of-mortality|死力]]是平滑的那種——每一個確切瞬間的瞬時死亡速率，正是這個量，穿過生存—密度—風險關係，生成了整條[[survival-function|生存函數]]。而*死亡率法則*，便是二者的聯姻：一條簡潔的死力公式，一經選定，就能復現出整條生存曲線。
既然生命表已經握有真相，又何必費這個事？有三個理由。公式是*可攜帶*的——在一道教科書習題裡，幾個常數能隨身而行，而一張千行的表格做不到。它是*平滑*的，於是它能在任何年齡給你一個答案，包括表格各級之間的那些分數年齡，無需任何額外假設。而且它*透明*：當你能看見死亡率沿著一條乾淨的指數曲線攀升，你便以一種滿牆數字永遠揭示不出的方式，理解了人類死亡的形狀。代價是誠實——沒有哪條整齊的曲線能完美貼合真實數據，所以法則是一種刻意的簡化，從來不是事實。
四條經典法則：從玩具到可信
[[analytic-mortality-laws|解析死亡率法則]]這一家族，從可愛的粗糙一路延伸到真正堪用。最簡單的是棣莫弗法則（De Moivre，1729）：假設死亡在直到某個極限年齡 ω（比方說 100 歲）之前*完全均勻地*散佈於各年齡。於是存活人數沿一條直線下降，死力為 1 ÷ (ω − x)——平緩上升，只在最末端才暴漲。它是個玩具：真實的死亡並不均勻。但它積分起來出奇地容易，因而在最初的練習與快速的合理性檢驗裡自有其用武之地。
接下來是常數死力：假設死力在每個年齡上都是同一個數 μ。這使得未來壽命成為一個指數變量——就是那個著名的*無記憶*變量，在它眼裡，一個 20 歲的人和一個 80 歲的人，明年死去的機會完全相同。對人類而言這顯然不成立，因為人的風險隨年齡攀升；可它仍是一段死亡率幾乎不動的短窗口裡最自然的基準，而且我們將會看到，它還兼任分數年齡假設之一。它的生存曲線按 e 的（−μ 乘以 t）次方衰減。
邁向真實感的一躍，來自岡珀茨（Gompertz，1825），他注意到一件深刻的事：在成年生命的大部分時段裡，死力呈*幾何級數*增長——它每年都乘以一個固定的倍數。把它寫成 μ(x) = B·c^x，其中 c 略大於 1。這一條指數曲線，捕捉到了人類衰老的核心真相：從三十幾歲起，你的死亡風險大約每八年左右便翻一番。隨後梅克姆（Makeham，1860）加上了一個常數：μ(x) = A + B·c^x。多出來的 A 是一道與年齡無關的地板——意外、感染、純粹的厄運，無論老少同樣會降臨——它讓公式對真實數據的擬合明顯變好，尤其在年輕年齡段，那裡純指數曲線壓得太低了。
把它們並排擺開，這四條便是一列遞進的死力公式，每一條都以多一分代數，換來多一分真實。棣莫弗用 1 ÷ (ω − x)，對應直到年齡 ω 的均勻死亡。常數死力用一個平直的 μ，對年齡無記憶。岡珀茨用 B·c^x，把衰老刻畫為一條乾淨的指數。梅克姆用 A + B·c^x——即岡珀茨再加上那道意外地板 A。請注意，常數死力不過是把 c 取作恰好等於 1（即不衰老）的岡珀茨，而棣莫弗則是個異類，它建立在均勻死亡之上，而非一個相乘的死力之上。對真實的成年人類死亡率而言，該伸手去取的，是岡珀茨—梅克姆這一對。
法則能買到什麼——又買不到什麼
回報是槓桿。由於法則在每一處都給出死力，你只需積分一次便得到生存函數，再由此導出你需要的每一個機率——存活任意時段的機會、[[future-lifetime-random-variable|未來壽命隨機變量]]的分布、作為一個乾淨積分（而非一長串求和）的[[life-expectancy|預期壽命]]。比如在常數死力下，未來壽命的完全期望值就乾脆是 1 ÷ μ：死力為 0.02，便意味著平均剩餘壽命為 50 年，無需任何表格。這類閉式答案在考場上是真金，在任何地方都是磨礪直覺的利器。
在各級之間：分數年齡假設
現在來看日常的難題。生命表告訴你一個 60 歲的人活到 61 歲的機會，但一張保單可能在*未來六個月內*身故時賠付，或者一筆保費可能在 60 歲零三分之一歲時到期。在整數年齡之間，表格是沉默的。[[fractional-age-assumptions|分數年齡假設]]就是我們為做插值而採納的規則——只用夾住某個年齡的那兩個表值，就為每一歲年齡之內的死亡率，發明出一個站得住腳的形狀。這裡有兩匹主力，而它們之間的差別，恰恰就是上文兩條法則之間的差別，只不過是逐年地施加。
第一種是死亡均勻分布（UDD）：在每一歲年齡之內，假設死亡均勻地散佈於十二個月——這正是棣莫弗法則，縮小到單獨一年的範圍。它使得在該年內一個分數 t 的時段裡死去的機率，簡單地等於 t 乘以整年的死亡機率：一個 60 歲的人在頭半年裡死去的機會，就恰好是整年死去機會的一半。UDD 之所以最受歡迎，正因為它用起來如此簡便，而且它在整數年齡之間，把存活人數列做線性插值。
第二種是每一歲年齡之內的常數死力：在整數年齡之間令 μ 保持平直——這正是常數死力法則，縮小到單獨一年的範圍。在此，存活人數在該年內呈指數衰減，而非線性衰減，於是半年的存活機率是整年存活機率的平方根。對尋常年齡那些小小的機率而言，兩種假設給出的答案通常只在毫釐之間；唯有當死亡率很高、或你把一年切得極細時，它們才會分道揚鑣。還有一處微妙卻真實的對照：在 UDD 之下，死力在每一年裡其實是*悄悄上爬*的，而常數死力按定義則把它牢牢壓平。
半年時光，兩種算法
把它落到實處。假設表上說一個 60 歲的人活不到 61 歲的機會是 0.01——於是一年的存活機率是 0.99。那麼，在頭*半*年裡死去的機會是多少？在 UDD 之下，它是年率的一半：0.5 × 0.01 = 0.005。在常數死力之下，半年的存活機率是 √0.99 ≈ 0.99499，於是死亡機率約為 0.00501。兩個答案在小數點後第五位才分出高下。這道毫釐之差，正是分數年齡假設的全部故事：一個真實存在、卻通常微不足道的選擇，唯有當你湊近放大時才顯出形跡。
Table fact: q_60 = 0.01 (so p_60 = 0.99)
Half-year death probability, 0.5 * q_60 :
UDD : 0.5 * 0.01 = 0.00500
Constant force : 1 - sqrt(0.99) = 0.00501
^ differ in the 5th decimal