兩台引擎，終於擰到了一起
你帶著兩件已經磨利的工具來到這一篇。從利息那一階起，你已能把任意一條固定的、有保證的付款流壓縮成一個數字——那就是確定年金，純屬利息，不擲骰子。從生存那一階起，你已能讀出一位現年 x 歲的人活到未來任意年齡的機率——那就是從生命表裡讀出來的生存函數。把這兩台引擎擰到一起，你得到的就是生命年金：一條*只在年金領取人存活期間*才持續的付款流，他一嚥氣，付款就戛然而止。
這確實是一種全新的承諾，值得停下來想一想其中的緣由。確定年金承諾的，比方說是二十筆付款——而這二十筆你都會收到，無論你死活，因為即便人不在了，它們也會歸入你的遺產。生命年金承諾的卻是：*只有當你今年還在，才付你這一筆*。沒人能事先知道實際究竟會付出多少筆；這個筆數本身就是一個隨機變量，由未來壽命的分佈所支配。所以我們不能簡單地把付款相加，而必須給每一筆未來付款，都乘上它「最終真被付出」的那個機率作為權重。
最小單元：純生存給付就是一筆按存活加權的付款
整篇指南就懸在這一個念頭上，而它很小。設想*僅僅一筆*未來付款：在第 k 年年末付 1 元，但前提是我們這位今天 x 歲的人，到那時還活著。它今天值多少？要讓這 1 元到帳，必須同時發生兩件事，所以我們把兩個因子相乘。第一，為了貨幣的時間價值，把這 1 元貼現回 k 年前：這正是你從利息階起就一直在用的「v 的 k 次方」貼現因子。第二，給它乘上這個人真的熬過這 k 年、活著來領的機率作為權重，這個機率你直接從生存曲線上讀出來即可。貼現因子乘以存活機率，你就得到了這一筆「視存活而定」的 1 元的價值。這個東西有個名字：純生存給付（純粹生存年金）。
現在說到點子上，而這正是為每一份生命年金估值的核心：生命年金*無非就是一堆純生存給付的總和*，每一個未來付款日對應一份。一份終身年金，就是「1 年後到期的 1 元純生存給付」，加上「2 年後到期的 1 元純生存給付」，再加上「3 年後到期的那一份」，如此一直加下去——只要這個人理論上還可能活到的每一年，都加上一份。每一項都是它自己那個「貼現 × 存活」的小乘積；年金的精算現值，不過就是把它們全部加總。你已經會給一份純生存給付估值了——所以你其實已經會給一份生命年金估值了。你只是把同一件事做許多遍，然後相加。
ONE pure endowment, $1 at the end of year k, life aged x:
value = (discount k years) x (prob. survive k years)
= v^k x k_p_x
WHOLE LIFE annuity = sum of pure endowments, one per future year.
Annuity-DUE (pay $1 at the START of each year you are alive):
adot_x = 1 + v*p_x + v^2*(2_p_x) + v^3*(3_p_x) + ...
^the first $1 is paid NOW, while certainly alive (prob 1)
Annuity-IMMEDIATE (pay $1 at the END of each year survived):
a_x = v*p_x + v^2*(2_p_x) + v^3*(3_p_x) + ...
The ONLY difference: adot_x has the leading 1, a_x does not:
adot_x = 1 + a_x期初還是期末——這回掛上了一條生命
你在確定年金那裡見過的「期末還是期初」之分，在這裡又回來了，但帶著一個值得細品的轉折。終身期初年金，記作 a-double-dot-x、讀作「a-double-dot 下標 x」，在年金領取人存活的每一年的*期初*付 1 元——而且從現在、從 x 歲這一刻就開始付。最開頭那一筆尤其特別：它今天就發生，而此刻這個人*必定*還活著，所以它根本不用貼現、也不用加權，就直接算作 1。其後的每一筆，才是一份份正經的純生存給付，要貼現、要按存活加權。這正是為什麼壽險數學壓倒性地偏愛期初年金這種形式：年金、保費與給付，幾乎總是按每一年的期初來計算的。
終身期末年金，記作 a-x，在每一個被熬過的年份的*期末*付 1 元，因此它沒有「今天就付」那一項。這一回，兩者之間的關係比確定年金時還要更利落。在確定年金裡，我們靠乘以 (1 + i) 來把整條流平移一期；而在這裡，兩條流*完全相同*，唯一的區別是期初那一版多帶了一筆付款——也就是今天那筆確定的 1 元。於是 a-double-dot-x 就乾脆等於 1 加上 a-x。求出其中一個，只需加上或減去一塊錢，另一個就到手了。
三種口味：終身、定期、遞延
握住了這個最小單元，三種標準的生命年金，就只是對「該把*哪些*純生存給付納入求和」做出的三種不同選擇。終身年金（a-double-dot-x）把從現在起、直到生命表所允許的最高年齡之間的每一年都納進來——它終身派付，無論這「終身」最後有多長。定期（限期）生命年金（記作 n 年期的 a-double-dot-x）最多付 n 筆就停：你每一年能領，前提是你既還活著、*又*仍處在最初的 n 年之內。它是那種「比方說一直派付到 65 歲、然後就停」之收入的天然模型。
第三種口味是遞延生命年金：它在最初的 m 年裡一分不付，然後從 x+m 歲起才變成一份普通的生命年金。這正是一位 35 歲的人會購買的退休產品——現在繳費，從 65 歲起領取一份終身收入，但前提是你得活到那一天。給它估值不需要任何新機器：它無非就是「終身年金減去遞延那幾年的定期年金」，或者等價地，是「熬過整段遞延期的一份純生存給付」乘以「一份從那時才起付的年金」。還要留意，這三者並不彼此獨立——一份定期年金加上與之相配的遞延年金，會重新拼回那份終身年金，因為它們合起來，恰好把未來的每一年都不重不漏地覆蓋了一遍。
- 選定合同實際覆蓋的那些付款日期——是未來的每一年（終身）、只有最初的 n 年（定期）、還是只有第 m 年之後（遞延）。
- 對每一個這樣的日期，寫下一份純生存給付：貼現因子乘以「從 x 歲活到該日期」的機率。
- 把它們全部加起來。這個唯一的總和，就是精算現值——這份年金今天的公允期望成本。
- 如果付款在每年的期初，你得到的就是期初年金；如果在期末，去掉開頭那筆 1 元，就得到期末年金。
對數字找一點小小的手感
我們用一個刻意做得很小的例子把它落到實處，好讓機制顯露出來。設想一位年金領取人，他最多也就還可能再活三年，其存活機率（從生命表讀出）為：活到第 1 年末 0.95、活到第 2 年末 0.88、活到第 3 年末 0.70，利率為 5%。一份終身期初年金，現在先付 1 元（確定），其後在每個後續年份的期初，*若還活著*再各付 1 元。開頭那 1 元不貼現、不加權。下一筆的價值，是「一年的貼現」乘以「活滿一年的機率」，依此類推。把它們加起來，大約是 1 + 0.905 + 0.798 + 0.605——約合 3.31 元，而不是粗心人從「四筆可能的付款」裡想當然得出的那個天真的 4 元。
有兩股力量把每一項都拽到 1 元以下，而這個例子把兩者一併展示了出來。單是貼現，就會讓未來的一塊錢縮水（也就是你早已熟知的貨幣時間價值）；存活加權再讓它縮一次，因為這一塊錢也許根本就不會被付出。兩者合起來，便解釋了為何「一輩子每年 1 元」的付款，今天也只值寥寥幾元，也解釋了為何這個數字會隨著年金領取人年齡漸長（前頭剩下的存活越來越少）或利率上升（貼現更狠）而下降。要把它變成一件真實的產品，保險公司會運用對價原則（等價原則）：它收取的躉繳保費，被設定為恰好等於 APV，如此一來，在整個池子上平均而言，收來的保費剛好覆蓋付出去的年金。
誠實的邊界，以及接下來是什麼
三句誠實的提醒，能讓你不至於過度信任這些乾淨的數字。其一，那些存活機率並不是事實——它們出自一張死亡率表，而這張表本身就是一個估計，由過去的資料搭成，並註定會隨著人們越活越長而漂移。年金保險公司的噩夢，恰恰就是這種漂移：萬一年金領取人活得比表裡假定的更久，那麼每一個 APV 都偏低了，年金也就定價過低了。其二，利息那一階的「單一利率」假設在這裡依然在場；嚴肅的工作會用殖利率曲線、而非一個凍結的利率來貼現。其三，APV 是一個*平均值*——它告訴你的是一大群人池子的公允價格，絕不是某一個人實際會領到多少。
實務中，人們很少真去手工重新加總成百上千份純生存給付。你很快會遇到的兩個捷徑，能讓這套記帳活兒憑空消失。遞推關係讓你用一步運算，就從明年的年金價值搭出今年的，沿著生命表逆向往回走。而精算師會預先算好一些精巧的累計量，稱作換算函數（計算函數），於是一份終身或定期年金，就化成了兩個查表值的一個簡單比值。兩者都純粹是為了效率——它們絲毫不改變其中的含義。你真正必須握牢的，是本篇中段那個念頭：生命年金是一摞純生存給付，其中每一份，都是一塊被縮了兩次水的未來的錢——一次為時間，一次為「能活著來領」的機率。