貸款不過是換了頂帽子的年金
本篇裡最難的那個想法，你其實已經見過了——只不過是從另一面見到的。上一篇裡，期末年金是一連串你*收取*的等額付款；而一筆等額貸款正是這同一連串付款，只不過現在變成你來*支付*、放貸人來收取。把座位掉個方向，數學完全相同。這就是讓貸款忽然變得簡單的那個靜悄悄的秘密：關於這些現金流，沒有任何新東西要學，只是要對它們提出一個新問題。
那麼，怎樣的還款方案才算公平？支配本階每一筆交易的，是同一個原則：價值方程。放貸人今天交給你的錢，必須等於你承諾償還的一切的現值。對一筆以每期利率 i、用 n 次等額付款償還的等額貸款 L 而言，這一個方程說：L 等於付款額乘以年金因子 a‑angle‑n。移項後，付款額不過是 L 除以 a‑angle‑n——把貸款金額切成一道現金流，其今天的價值恰好等於貸款，不多也不少。
每一筆付款究竟去了哪裡
下面這個問題，幾乎絆倒了每一位頭一回借錢的人。你三十年裡每月償還相同的金額——那麼每筆付款想必都削去相等的一塊債務吧？差得遠呢。每一筆付款都被悄悄分成兩部分，而它們的比例會隨著年月推移而此消彼長。規則美妙地簡單：利息總是按你當前所欠的金額來收取，付款在扣去這筆利息之後剩下的部分，則用於減少本金。
順著走一遍。一開始你欠著全額貸款，所以利息那一塊很大，你的付款裡只有一絲絲觸及本金。可這一絲絲確實讓餘額變小了——於是下一期的利息便按一個略小的數來計算，讓那筆固定付款中略多一點去攻打本金。因此本金部分*每期增長*，並隨著餘額下降而加速，與此同時利息部分則相應縮小。總付款從不改變，改變的只是它內部的拆分。到最後一筆付款時，剩下的本金恰好等於餘額，債務穩穩落在零。
Loan 10,000 at i = 6% per year, 5 equal annual payments. Payment = 10,000 / a-angle-5 (at 6%) = 10,000 / 4.21236 = 2,373.96 Yr | Balance start | Payment | Interest (6%) | Principal | Balance end 1 | 10,000.00 | 2,373.96 | 600.00 | 1,773.96 | 8,226.04 2 | 8,226.04 | 2,373.96 | 493.56 | 1,880.40 | 6,345.64 3 | 6,345.64 | 2,373.96 | 380.74 | 1,993.22 | 4,352.42 4 | 4,352.42 | 2,373.96 | 261.15 | 2,112.81 | 2,239.61 5 | 2,239.61 | 2,373.96 | 134.38 | 2,239.58 | 0.03* *rounding; the exact schedule lands on 0.
未償餘額：你今天還欠多少
在貸款進行到一半時把時鐘停下，問一個最實際的問題：如果我今天想清掉這筆債，得開出多大金額的支票？這個數字就是未償餘額，計算它有兩種誠實的辦法，而它們必須永遠一致。*前瞻*法向前看：餘額等於你*尚未支付*的那些付款的現值——又一次正是放貸人那筆年金的想法，只是用於一個更短的剩餘期限。*追溯*法向後看：把原始貸款連本帶息向前累積，再減去你*已經支付*的那些付款，每一筆同樣連本帶息地向前累積。
兩條路抵達同一個數字，因為它們是同一個價值方程的兩扇窗。在上面那張表裡，第三筆付款之後，前瞻餘額是把兩筆 2,373.96 貼現回來，即 4,352.42——恰好等於那一行所示的餘額。這種相等不只是一個利落的核對；它也是攤還表永不漂移的原因。它還點明了一條值得隨身攜帶的微妙警告：餘額*並不是*貸款減去你已付款項的簡單加總。那種天真的相減忽略了那些過去付款本可賺到的利息，它總會低估你仍欠的金額。
另一條路：償債基金法
攤還並不是清償一筆債務唯一誠實的辦法。償債基金法採取一種全然不同的姿態：讓原始貸款始終保持全額、紋絲不動，轉而另外攢起一個儲蓄罐——也就是償債基金——讓它在到期日恰好增長到貸款金額，屆時你一次性結清整筆債務。於是借款人每期做兩件事。第一，向放貸人支付*整筆*原始貸款的利息；由於本金從不下降，這筆利息每一期都相同。第二，向償債基金存入一筆固定金額。
那筆存款該有多大？基金本身就是一筆年金——一系列等額存款，必須在 n 時刻累積到貸款金額 L——所以存款額是 L 除以累積因子 s‑angle‑n，且按*基金自身*的增長利率計算。而這短短一句話，正是全部要害所在。關鍵的轉折在於：償債基金賺取的利率可能與貸款收取的利率*不同*。倘若基金恰好賺到貸款利率，償債基金法的成本就與攤還分毫不差地相同——它們暗地裡本是同一筆交易。但若基金賺的利率低於貸款（這是常見情形，因為安全的儲蓄通常比貸款收取的利率付得少），借款人就必須存得更多才能達到目標，於是償債基金法結果更貴。
有一處概念上的微妙之處值得釘牢。在攤還下，你所欠的餘額確實每期下降。在償債基金法下，*債務*卻頑固地始終停在全額面值——下降的是借款人的*淨*頭寸，也就是貸款減去那個穩步增長的基金。兩者在經濟上可比，但在記賬上並不相同，精算師會小心地絕不把基金的餘額與債務本身的減少混為一談。企業歷史上曾用償債基金來贖回債券發行，而只要有一筆整額債務必須在某個固定的未來日期償付，這種方法就依然存活。
為何這正是通往房貸與債券的門
本篇裡的一切，在你望向世界上兩件最龐大的金融工具時立刻派上用場。一筆房貸，不過是一筆在許多年裡攤還的等額貸款，通常採用按月可換算的名義利率——以名義 6%、按月複利（每月 0.5%）在 360 個月裡借入 200,000，月供就是 200,000 除以 a‑angle‑360，約每月 1,199。此處每一個攤還的想法都原封不動地適用：早期付款幾乎全是利息，未償餘額是剩餘部分的現值，而提前償還會省下不成比例的利息。
債券把這幅圖翻了個裡朝外：現在*你*是放貸人。你今天付出一個價格，換來一連串等額票息，外加到期時按面值贖回的一筆款項——從發行人那一側看，這在結構上正是一筆償債基金式的貸款，票息扮演利息付款的角色，面值則是末了所欠的那一整筆。債券的價格不過是那些票息與那筆贖回的現值，而使該現值等於你所付價格的那個常數利率，就是它的殖利率——到期殖利率，一個內部報酬率。同樣那個價值方程，只是從買方而非借款人那一側來讀。
在你繼續之前，有一條誠實的提醒。那條乾淨的付款公式假定了一個單一、固定、如實報出的利率——而真實世界要凌亂得多。宣傳的貸款利率可能藏著費用，而按月複利的名義利率的成本高於它表面所示；要找出一筆貸款的真實成本，唯一可信的辦法是寫出包含每一項費用的完整價值方程，而不是相信海報上的那個數字。這份謙遜正是利息理論的全部精神：公式是精確的，但它們只在你餵給它們的現金流和利率誠實時，才同樣誠實。接下來你將轉向：那個利率本身是如何被度量的，以及它如何隨貸款的長短而變化。