魏爾斯特拉斯 P 函數（Weierstrass P-function）
/ VY-er-shtrahss /
魏爾斯特拉斯 P 函數（以特殊的花體符號書寫，常拼作 wp）是橢圓函數的根本範例：複平面上一個亞純且「雙週期」的函數。雙週期意味著它同時在兩個獨立方向上重複。固定兩個不指向同一方向的複數 omega_1 與 omega_2；它們生成一個格，即所有點 m omega_1 + n omega_2（m, n 為整數）構成的網格。P 函數滿足 P(z + omega_1) = P(z) 與 P(z + omega_2) = P(z)，所以它的全部行為由它在一個基本平行四邊形上的樣子決定——就像鋪滿整個平面的壁紙圖案。
它的明確形式是一個刻意設計成週期、且在每個格點都有二階極點的和：P(z) = 1/z^2 + sum over non-zero lattice points w of (1/(z - w)^2 - 1/w^2)。首項 1/z^2 在原點給出一個二階極點；週期性迫使每個其他格點也有一個對應的二階極點；而和式中的修正項 -1/w^2 正是使級數收斂所需的。這個構造不強制有其他奇點、也不強制有零點——它是最簡單的非常數橢圓函數，因為有一條定理（又是劉維爾）顯示一個全純的雙週期函數必為常數，所以任何真正的橢圓函數「必須」有極點。
它之所以坐落在這個由勝利組成的領域，是因為它把複分析與代數、幾何綁在一起。P 函數與它的導數滿足一條單一的代數關係 P'(z)^2 = 4 P(z)^3 - g_2 P(z) - g_3，其中 g_2 與 g_3 是由格構造出的常數。那條方程正是橢圓曲線的方程，而 z -> (P(z), P'(z)) 用複平面模去格——一個環面——來參數化該曲線。所以橢圓函數是橢圓曲線的解析單值化，並進一步連向西塔函數、模形式，並（經由 L 函數）回到數論。一個提醒：「橢圓函數」與橢圓並無直接關係；這名字承襲自計算橢圓弧長時出現的橢圓積分，而這些函數正是它們的反函數。
取由 omega_1 = 1 與 omega_2 = i 生成的正方形格。基本胞是單位正方形，而 P(z) 在每個角點 m + n i 處有一個二階極點。當 z 繞原點轉一圈，P(z) 像 1/z^2 那樣爆炸，然後在 z 移向胞中心時回落到一個有限值。把 z 平移 1 或 i 都不改變其值——函數確確實實以單位正方形上的圖案鋪滿整個平面。
雙週期函數從一個平行四邊形鋪滿整個平面；P(z) 在每個格點有二階極點，並滿足 P'^2 = 4P^3 - g_2 P - g_3。
非常數的橢圓函數必須有極點——劉維爾定理排除了有界整函數的可能。所以你無法造出一個無奇點而有趣的雙週期函數；P 函數在格點處的二階極點是不可避免的，並非缺陷。