沃森引理（Watson's lemma）
/ WOT-sun /
沃森引理是許多漸近計算內部那台精確、可重用的引擎。它回答一個尖銳的問題：若你有一個拉普拉斯型積分 I(s) = （從 0 到無窮對 f(t) e^(-s t) dt 的積分），讓 s 變大，那麼 I(s) 完整的漸近展開逐項是什麼，而不僅僅是它的主導大小？答案令人愉快地機械化：它只取決於 f(t) 在 t = 0 附近的行為，因為當 s 大時因子 e^(-s t) 會把遠離原點的一切都壓掉。
敘述如下。設 f 在 t = 0 附近有冪次（可能為分數）展開 f(t) 約等於 sum a_n t^(b_n)，指數 b_n 遞增到無窮、且每個 b_n > -1，並設 f 在 t 大時增長不太快（使積分收斂）。則當 s -> 無窮時，I(s) 有漸近展開 I(s) 約等於 sum a_n 乘 Gamma(b_n + 1) / s^(b_n + 1)。換言之：用伽瑪函數公式（從 0 到無窮對 t^b e^(-s t) dt 的積分 = Gamma(b+1)/s^(b+1)）把小 t 級數逐項對 e^(-s t) 積分，所得級數即為整個積分的漸近。你可以對局部級數求微分，引理仍逐項適用。
沃森引理是使拉普拉斯方法與最速下降法嚴格化的主力，並賦予它們所有高階修正，而不只是主導項。當你藉由定位主導點並換元、把積分化簡為標準拉普拉斯形式後，沃森引理便自動產出 1/s 的完整冪級數。誠實的告誡：所得是漸近級數，通常並不收斂——加更多項最終會使近似變差——所以對給定的 s 你停在最佳項數處。
取 I(s) = （從 0 到無窮對 e^(-s t) / (1 + t) dt 的積分）。在 t = 0 附近有 1/(1 + t) = 1 - t + t^2 - t^3 + ...，故沃森引理給出 I(s) 約等於 Gamma(1)/s - Gamma(2)/s^2 + Gamma(3)/s^3 - ... = 1/s - 1/s^2 + 2/s^3 - 6/s^4 + ...。階乘 Gamma(n+1) = n! 使這成為一個著名的發散漸近級數，然而截斷它便能對大 s 給出精確指數積分值的極佳估計。
小 t 級數透過伽瑪函數逐項對 e^(-s t) 積分。
假設 b_n > -1 不可或缺——它使每個 Gamma(b_n + 1) 有限、每一塊在 t = 0 處可積；像 t^(-1) 這樣的項會使原積分在原點發散。