角錐與圓錐的體積

角錐（一個底，側面為相交於一點的三角形）和圓錐（一個圓底逐漸收斂到一點）都收於一個尖頂。如果你把一個空圓錐裝滿沙子，倒進一個底和高都相同的圓柱裡，你會需要恰好三圓錐的沙才能裝滿圓柱。這個三分之一就是關鍵所在。

體積為 V = (1/3) · B · h，其中 B 是底的面積，h 是從底到頂點的垂直高（垂直向上量，而非沿斜面）。對圓錐而言 B = pi · r^2，給出 V = (1/3) · pi · r^2 · h；對正四角錐而言 B = s^2，給出 V = (1/3) · s^2 · h。在所有情況下，這個收斂的立體恰好裝有與它同底同高的角柱或圓柱的三分之一。剩下的三分之二，就是斜面與直壁之間的空間。

為什麼恰好是三分之一，而不是別的分數？可以把一個正方體切成三個全等的角錐來證明，或用卡瓦列利原理比較橫截面，兩者都顯示對每一個頂點位置這個係數都恰好是 1/3——頂點可以偏向一邊（斜圓錐）而體積不變，因為只有垂直高才重要。要嚴格釘死「恰好」需要極限論證，這也是為什麼完整證明屬於分析，但三分之一這個係數本身就是紮實的幾何。