向量場的流（flow of a vector field）
向量場為每一點指派一個箭頭——一陣吹過流形的風。它的流就是當你讓一個粒子在那風上漂移時所發生的事：每一瞬間它朝場所指的方向移動，描出一條路徑。流把所有這些軌跡（同時從所有點出發）打包成整個流形的單一一個依時變換。
給定 M 上的光滑向量場 X，通過 p 的積分曲線是一條曲線 gamma，滿足 gamma(0) = p 且對所有 t 有 gamma'(t) = X(gamma(t))——它解一個右端為 X 的自治常微分方程。常微分方程的存在唯一性定理給出通過每點的唯一積分曲線，至少在短時間內。把它們收集起來定義流 theta_t(p) =（通過 p 的積分曲線在時刻 t 的位置）。對每個固定的 t，theta_t 是 M（的一個開子集）到其像的微分同胚，且它們像時間一樣複合：theta_s 與 theta_t 合成等於 theta_{s+t}，theta_0 為恆等——一個單參數微分同胚群。
流是向量場「積分」為運動的方式，也是指數與李導數背後的幾何意義：張量沿 X 的李導數量度當你以 theta_t 拖曳它時的變化率。一個關鍵的提醒是完備性：一般而言 theta_t 只對小的 t 有定義，因為積分曲線可能在有限時間內跑到無窮遠——R 上的場 X(x) = x^2 有會爆破的積分曲線。當向量場的流對所有 t 都存在時稱為完備，給出整條實數線的真正作用；在緊流形上這自動成立，否則可能失效，故「流」往往只是局部定義的。
在 R^2 上旋轉場 X = -y partial-x + x partial-y 的流為 theta_t(x, y) = (x cos t - y sin t, x sin t + y cos t)，即旋轉角 t 的剛體旋轉。它是完備的：每條積分曲線是一個永遠描繪的圓，而 theta_s 與 theta_t 合成 = theta_{s+t} 就是角度相加。
旋轉場積分為旋轉流；它是完備的。
並非每個向量場都完備：積分曲線可能在有限時間內逃逸到無窮遠，故流可能只是局部的。在緊流形上以及 X 具緊支集的流形上完備性自動成立。