上界定理（upper-bound theorem）
假設你固定一個多胞形的頂點數，但讓它在 n 維空間中盡可能繁複——它最多能有多少個面？上界定理正好回答這點：在所有具給定頂點數的 n 維多胞形中，循環多胞形是冠軍，擁有每一維面數的最大可能值。它釘住了最壞情形的組合複雜度，這正是它成為計算幾何基礎估計的緣由。
精確地說，設 P 是有 N 個頂點的單純 n 維多胞形（求最大時假設單純並無損失，因為擾動多胞形只會增加面計數）。則對每個 k，P 的 k 維面數 f_k 至多等於循環多胞形 C(N, n) 的 f_k——後者是矩量曲線 t -> (t, t^2, ..., t^n) 上 N 個點的凸包。循環多胞形是「鄰接的（neighborly）」：其頂點中任意至多 floor(n/2) 個的子集都構成一個面，這是任何 n 維多胞形所能達到的極致，而正是這種鄰接性使它取得最大值。麥克馬倫於 1970 年用 h 向量與德恩-索莫維爾關係證明了此定理；關鍵不等式是任何單純多胞形的 h 向量被循環多胞形的 h 向量逐項支配。
實務上的結論是一個銳利的增長率：有 N 個頂點的 n 維多胞形可有約 N^{floor(n/2)} 量級的 facet，不會更多。這正是為何 n 維中的凸包與沃羅諾伊圖演算法，其最壞情形輸出大小（從而執行時間）以 N^{floor(n/2)} 增長——上界定理就是高維凸包爆炸的原因。一個誠實的提醒：此界是緊的（循環多胞形達到它），但對典型輸入而言悲觀；隨機或一般位置的點集通常面少得多，所以定理描述的是最壞情形、非平均情形。也要注意它由上方限制面數；以堆疊多胞形為極值的對應下界定理，是另一個獨立結果。
在 R^4 中，矩量曲線上的循環多胞形 C(N, 4) 是 2-鄰接的：它的 N 個頂點兩兩之間都有稜相連，所以它擁有全部 C(N, 2) = N(N-1)/2 條稜——這是四維多胞形的絕對最大值。一般位置的 N 頂點四維多胞形通常稜少得多，但沒有一個能勝過循環多胞形；這就是上界定理的運作，它逼使四維凸包隨點數平方增長。
循環多胞形 C(N,4) 是 2-鄰接的，達到最大值 N(N-1)/2 條稜。
此界是針對最壞情形，且只被非常特殊的（循環、鄰接）多胞形達到。把「N^{floor(n/2)} 個 facet」當成典型行為是錯的；一般位置的點雲要簡單得多，定理的價值在於保證沒有東西能更糟。