唯一延拓（unique continuation）

解析函數有一種剛性的記憶：若你知道它在任意一個微小的小片上的值，你就知道它處處的值——它在一小片上的值決定了全部。橢圓方程的解承繼了這種剛性的一個版本。唯一延拓說：一個在任意小開集上為零（或在更強的形式中，在單一點處無窮階為零）的解，必定在整個連通區域上為零。你不可能有一個在某區域恰好為零、在相鄰區域卻非零的解。

精確地說：若 u 在一個連通區域上滿足橢圓方程，且 u 在某個開子集上恆為零，則 u 在整個區域上為零。等價地說，兩個在某小開集上相等的解處處相等。「強唯一延拓」這個詞把「開集」加強成「單一點」：若 u 在某點比距離的每一次方都衰減得更快（在該處無窮階為零），則它恆為零。調和函數因其為實解析而免費得到這點；對係數非解析的一般橢圓算子，這是一個真正的定理，是用精細的卡勒曼估計（加權能量不等式）而非冪級數證明的。也有反映擴散平滑性的拋物版本，而雙曲型的唯一延拓更微妙，與特徵線的幾何繫在一起。

為什麼要在乎？唯一延拓是橢圓與拋物解為何被如此剛性地決定的抽象核心——它是反問題與控制問題唯一性背後的定性原因，那裡你試圖從部分資訊回復或操控一個解。若你能觀測的某個量為零，唯一延拓往往迫使隱藏的狀態也為零。誠實提醒：它是橢圓／拋物剛性的標記，對一般或非光滑的方程可能「失效」——有著名的反例（普利斯等人）：係數光滑的橢圓型方程，其非零解卻在一個開集上為零，所以唯一延拓是一個帶假設的定理，而非免費午餐。