單值化定理（uniformization theorem）

黎曼映射定理把平面的單連通片分類：每一片（整個平面除外）共形上都是圓盤。單值化定理是它令人屏息的推廣，把故事從平面提升到彎曲的曲面上。它說：整個單連通黎曼曲面的宇宙——可在其上進行複分析的抽象曲面——恰好分為「三」種共形類型。無論曲面多麼奇異，經過共形的座標變換後，它必定是僅僅三個模型空間之一。

嚴格地說：每個單連通黎曼曲面都共形等價（雙全純）於三個模型中恰好一個——黎曼球面（擴充平面，唯一緊的那個，正曲率）、複平面 C（平坦，零曲率），或開單位圓盤，等價地上半平面（負的、雙曲曲率）。這三者互不等價：球面是緊的而其餘兩個不是，而平面與圓盤由劉維爾定理區分（不存在非常數的有界整函數，故平面共形上不是圓盤）。一般（非單連通）的情形透過取通用覆蓋而得：每個黎曼曲面都是這三個模型之一被一個自由作用的自同構群作商。絕大多數曲面——任何虧格 2 以上的、以及大多數帶刺穿的虧格 1 與 0 的——都被圓盤所覆蓋，這就是雙曲幾何是黎曼曲面「典型」幾何的原因。

這一條定理的觸及範圍巨大：它在每個黎曼曲面上賦予一個標準幾何（球面、歐氏、或雙曲），是自守形式與模形式理論的基礎，並把複分析連到拓撲（三分法對應曲面的曲率三分法）。它把黎曼映射定理包含為平面定義域的特例。誠實的提醒。證明遠比黎曼映射定理深——它需要位勢論（曲面上調和函數與格林函數的佩龍方法）或現代的偏微分方程／曲率理論，且確實是二十世紀的結果（科貝與龐加萊）。而它是共形分類，而非度量分類：兩個曲面可以是相同的共形類型卻承載天差地別的形狀；單值化在每個共形類中挑出那一個標準的常曲率度量。