布朗運動路徑的無界變差（unbounded variation）
隨機積分之所以必須從頭重新建構，原因藏在布朗運動樣本路徑的一個病態事實裡：它在每個區間上都具有無限的全變差（total variation）。若你想仿照對一般函數 f 定義 integral H_s df_s 的方式來定義 integral H_s dB_s，你會自然訴諸黎曼-斯蒂爾傑斯積分（Riemann-Stieltjes integral），而它的收斂恰恰要求積分子 f 具有界變差。布朗運動完全不滿足這個假設，因此古典的逐路徑建構根本不存在，於是一個全新的機率想法（建立在 L^2 等距上的伊藤積分）便被迫登場。
函數 f 在 [0, t] 上的全變差，是對所有分割 0 = t_0 < t_1 < ... < t_n = t，取 |f(t_k) - f(t_{k-1})| 之和的上確界。有界變差函數就是此上確界有限者；等價地，它是兩個遞增函數之差，黎曼-斯蒂爾傑斯積分（或在勒貝格觀點下，其對應的帶號測度）便對它有意義。對布朗運動而言情況恰恰相反：當分割的網目縮小時，絕對增量之和幾乎必然無界地增長，因此 t -> B_t 的全變差在每個區間上都是無限的，不論區間多短。與之相伴的深刻事實是：雖然一階和爆掉，二階和（增量平方之和）卻收斂到一個有限、確定的極限——二次變差 [B]_t = t。直觀上，布朗運動恰好「粗糙到一半」，不足以有界變差，卻又「恰好夠粗糙」而擁有非平凡的二次變差。
為何重要：無界變差並非技術細節，而是整個二階微積分的根源。由於 integral H dB 不能是逐路徑的黎曼-斯蒂爾傑斯積分，黎曼和中取值點的選擇（左端點還是中點）會真正改變結果，這正是伊藤積分（取左端點）與斯特拉托諾維奇積分（取中點）相異的原因。又因為 (dB)^2 表現得像 dt 而非可忽略，伊藤公式才帶有著名的二階修正項。誠實的提醒：連續過程可以有無界變差卻依然完全可處理；反之，任何有界變差的連續過程其二次變差為零，故對伊藤修正毫無貢獻。對連續路徑而言，有界變差與非平凡二次變差互斥。
把 [0, 1] 等分成 n 段。布朗增量絕對值之和 sum |B_{k/n} - B_{(k-1)/n}| 的期望約為 sqrt(2/pi) * sqrt(n)，隨 n 增大趨於無窮——一階變差發散。但增量平方之和 sum (B_{k/n} - B_{(k-1)/n})^2 的期望恰為 1、變異數為 1/n 階，因此收斂到 1 = [B]_1——二階變差有限。
一階和發散（無界變差，故無黎曼-斯蒂爾傑斯積分）；二階和收斂到 t（即驅動伊藤公式的二次變差）。
幾乎每條布朗路徑也處處不可微，這是同一種粗糙性的逐點表現；切勿寫 dB/dt——白噪音是廣義函數而非普通函數，integral H dB 必須作為整體來定義，而非寫成 integral H (dB/dt) dt。