行波解（travelling-wave solution）
偏微分方程的某些解會保持一個固定的形狀，單純以穩定速度滑過空間，就像池塘上向外擴散的漣漪，每道隆起的脊都守住自己的輪廓。行波解正是如此：一個只透過單一組合變數 x - c t（或反方向的 x + c t）依賴於空間與時間的解，因此是一個以速度 c 滑行的凍結輪廓。
具體地說，你尋找形如 u(x,t) = f(x - c t) 的解。巧妙之處在於它對導數的作用：u_t = -c f'(x - c t)、u_x = f'(x - c t)，於是偏微分方程塌縮成關於單變數輪廓 f 的常微分方程。對傳輸方程 u_t + c u_x = 0，得到 -c f' + c f' = 0，對任何形狀 f 都成立——每個輪廓都會行進。對更豐富的方程，則得到 f 的真正常微分方程，其解就是被允許的波形；波速 c 常常不是自由的，而是被「要有合理輪廓」這個要求釘住。
行波是偏微分方程中最深刻的組織性概念之一。它們是波動方程的自然解（左行與右行），出現在反應擴散方程中作為陣面（以固定速度推進的火焰或入侵的族群），也作為孤立子出現在如 Korteweg-de Vries 之類的方程中、頑強地保持形狀。把偏微分方程化約成 f 的常微分方程，也是想理解一條棘手非線性方程時的標準第一步。
對含黏性的 Burgers 方程，u_t + u u_x = nu u_xx，尋找 u = f(x - c t) 會得到一條常微分方程，其解是一個平滑的階梯（tanh 形狀），把左邊的高值接到右邊的低值——一個形狀與速度 c 固定、移動且被抹平的震波陣面。
代入 u = f(x - c t) 把偏微分方程變成常微分方程；存活下來的輪廓就是行波。
行波形式是一種代入假設（有根據的猜測），不是保證：許多偏微分方程只在特定速度 c 才有行波，而許多解根本不是這種形式。找到一個行波說明的是「什麼可能發生」，而非「每個解都這樣」。