梯形法則（trapezoidal rule）

把曲線下的面積想成一塊頂邊起伏的土地。最粗略卻誠實的估計，是假裝頂邊是兩端之間的一條直線，算出所得梯形的面積——一個頂邊傾斜的矩形。梯形法則正是如此，而當你把這塊地切成許多細長的直條、每條都加上一個小梯形時，它就成了真正不錯的方法。

在單一區間 [a, b] 上，此法則用 (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2 近似 f 的積分——寬度乘以兩端高度的平均。當 f 是直線時它精確，其誤差為 -(b - a)^3 f''(xi) / 12（xi 為某點），所以誤差正比於被積函數的曲率：凸函數被高估，凹函數被低估。複合形式中，你把 [a, b] 切成 n 條寬 h = (b - a)/n 的條並相加：h * (f(x_0)/2 + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) + f(x_n)/2)。內部點權重為一，兩端點為一半。複合誤差為 O(h^2)，所以把條寬減半，誤差變成四分之一。

梯形法則是最簡單而值得一用的複合求積，也是龍貝格積分的種子——在那裡理查森外推反覆細化它，提煉成高階方法。一個美麗而被低估的事實：對在整個週期上積分的「光滑週期」被積函數，梯形法則不只是二階——它收斂得比 h 的任何冪次都快（譜精度），這正是它成為傅立葉型積分首選法則的原因。它誠實的弱點在非週期函數或奇異點附近，那裡它只有二階，而在同樣的計算次數下，更高階或自適應的法則表現好得多。