時間推進（time-stepping）

你無法像大自然展開連續軌跡那樣在電腦上觀看它——機器只能做有限次算術運算。所以你不取平滑的流動，而是走一連串離散的跳躍：從現在所在的位置，估計稍後會到哪裡，跳過去，再重複。時間推進就是這種一跳接一跳的行進，把連續的微分方程變成一連串明確的計算。

具體而言，你把連續的時間軸換成格點 t0、t1、t2、...，通常以固定步長 h 間隔，使 t_{n+1} = t_n + h。你保留真解 y(t_n) 的近似值 y_n，而一條推進規則（數值方法）告訴你如何由 y_n（也許還有在一或多點處算出的 f）算出 y_{n+1}。最簡單的規則，前向歐拉法，就只沿著當下斜率走一步：y_{n+1} = y_n + h * f(t_n, y_n)。更準確的規則會在一步之內先在多處取樣斜率，再決定如何前進。無論如何，你都把 t0 -> t1 -> t2 -> ... 推進到你關心的時間，而離散數列 y_0、y_1、y_2、... 就是你的數值解。

時間推進的核心藏著兩股誠實的張力。較小的步長 h 較「準確」（每步誤差通常以 h 的某次方縮小），但代價更高，因為要走更多步才能涵蓋同一段時間。而較小不自動代表較安全：在某些（顯式）方法配上某些（剛性）問題時，步長太大不只是失去準確度——它會讓算出的解爆掉，儘管真解正安詳地衰減。因此選步長是準確度、成本與穩定性之間的權衡，自適應求解器會即時調整 h，讓三者都受控。