八種瑟斯頓幾何
/ THERS-tun /
在二維中，曲面恰能由三種均勻模型幾何建成——圓球面（正曲率）、平坦平面（零）、雙曲平面（負）——而每個閉曲面恰穿戴其一。瑟斯頓發現了三維的對應：不是三種而是「八種」模型幾何，且與曲面不同，單一的三維流形可能須被切成數片、每片以不同的一種為模型。這八種齊性幾何是所有閉三維流形的構件。
精確地說，此處的模型幾何是一個單連通齊性黎曼三維流形 (X, G)，其中 G 為完整等距群、G 可遞作用、各點穩定化子緊緻，且 X 至少承載一個對離散子群的緊緻商（極大性與緊緻商條件正是把名單削減到八種的關鍵）。八種是：常曲率三人組 S^3、E^3（歐氏）與 H^3（雙曲）；兩種乘積幾何 S^2 x R 與 H^2 x R；以及三種扭轉幾何——SL(2,R) 的萬有覆疊（纖維化於 H^2 上）、Nil（海森堡幾何，纖維化於 E^2 上）與 Sol（對稱性最少的可解幾何）。每一種作為局部模型都是剛性的：以其一為模型的流形把該幾何作為 (G,X)結構承載。
它們的重要性在於統御「整個」三維流形拓樸。八種中有六種（除 H^3 與 Sol 外的一切）是「小」的塞弗特纖維或其他特殊幾何，只支持非常受限的流形；H^3 則是壓倒性的一般情形，是「大多數」三維流形的幾何。幾何化定理說：每個閉可定向三維流形都典範地（沿球面與環面）分解成數片、每片恰承載八種之一——故理解三維流形便化約為理解這八種模型加上它們如何黏合。
三維環面 T^3 = R^3 / Z^3 以 E^3（歐氏）為模型；乘積 S^2 x S^1 以 S^2 x R 為模型；雙曲曲面的單位切叢以 SL(2,R) 的萬有覆疊為模型；而一個閉可定向曲面在圓上的纖維叢、其單值性為環面的阿諾索夫（雙曲）映射者，以 Sol 為模型。相對地，像八字結補這樣的紐結補則以 H^3 為模型——一般的雙曲情形。
每種幾何各一例：T^3（E^3）、S^2 x S^1（S^2 x R）、環面叢（Sol）、八字結補（H^3）。
瑟斯頓意義下有八種三維模型幾何，但這「並非」聲稱每個閉三維流形都是幾何的——大多數不是。正確的陳述（幾何化）是每個這樣的流形分解成數片幾何塊；單一流形可同時需要八種中的好幾種。