強連續收縮半群（strongly continuous contraction semigroup）

強連續收縮半群——即 C_0 收縮半群——是希爾-吉田理論所刻畫的精確泛函分析對象，也是馬可夫轉移半群的抽象歸宿。它把圖像削減到巴拿赫空間上的本質公理，忘卻其機率起源，使我們得以追問哪些算子能生成這樣的流、以及 P_t f 繼承了什麼正則性。

設 (X, ||.||) 為巴拿赫空間。X 上的有界線性算子族 (P_t)_(t >= 0) 若滿足下列條件即為 C_0 收縮半群：(1) P_0 = I；(2) 半群律 P_(t+s) = P_t P_s 對所有 t, s >= 0 成立；(3) 強連續性，意即對每個 f in X，軌道 t -> P_t f 從 [0, infinity) 到 X 連續，等價於當 t -> 0+ 時 ||P_t f - f|| -> 0；(4) 收縮性，對所有 t 有 ||P_t|| <= 1（每個 P_t 非擴張）。注意「強」連續是軌道的連續，「並非」t -> P_t 在算子範數下的連續（一致連續）——一致連續強得多，會逼出有界生成元，從而排除幾乎所有有趣的微分生成元。強連續恰是仍允許像拉普拉斯算子這類無界生成元的弱正則性。

重要性：這正是讓 P_t = e^(tA)（A 無界）獲得嚴格意義的類別，預解式是半群的拉普拉斯變換，而希爾-吉田告訴你某個給定的 A 何時真能生成這樣一個半群。對馬可夫過程而言，收縮性是自動的（取平均縮小上確界範數），半群另外還保正且 P_t 1 = 1；在 C_0(E) 上的強連續性恰是費勒條件。一個誠實的提醒：許多自然的馬可夫半群在「全體有界可測函數」空間上「並不」強連續（只在 C_0 或 L^p 上才強連續），因此必須一開始就固定正確的巴拿赫空間。