標準常態分配與 z 分數（standard normal and z-score）

每個常態分配都有相同的鐘形——差別只在中心與寬度。因此統計學家不為每組 mu 與 sigma 各備一份表，而是選定一個參考鐘來衡量一切：標準常態，中心在 0、寬度為 1。z 分數正是把任何常態值翻譯到這把通用尺上的工具。

標準常態是 Z ~ Normal(0, 1)：平均 0，標準差 1。要把來自 X ~ Normal(mu, sigma^2) 的任一值 x 拿來與它比較，計算其 z 分數：z = (x - mu)/sigma。換言之，先減去平均使其置中，再除以標準差，把差距表達為「離平均幾個標準差」。z 為 +2 表示 x 高於平均兩個標準差；z 為 -1.5 表示低於平均一個半。這個標準化正體現了「對常態作平移與縮放仍保持常態」的線性規則——Z = (X - mu)/sigma 本身就是標準常態。

好處是只要一張表或一個函數（標準常態的累積分布函數，常記為 Phi）就能回答每個常態的機率問題：P(X < x) = Phi((x - mu)/sigma)。z 分數還能讓你比較蘋果與橘子——一個考試分數與一個身高——靠的是問各自在自身尺度上有多不尋常。唯一的提醒：只有當資料大致為常態時，z 分數才帶有它熟悉的意義；對嚴重偏態或重尾的變數而言，「離平均兩個標準差」並不是鐘形曲線所暗示的那種罕見事件。