射擊法（shooting method）

初值問題把完整的起始狀態交給你，問你會在哪裡結束。「邊值」問題更難：它在「兩端」都釘住了條件——例如一根夾在兩面牆上的樑，或一條必須從這裡出發、精確到達那裡的軌跡——卻把起始斜率留為未知。射擊法把這個兩端的謎題變回容易的單端那種，做法是猜出缺失的起點、發射一條軌跡，再像砲手校準目標那樣調整。

對二階邊值問題 y'' = f(t, y, y')、y(a) = alpha、y(b) = beta，想法如下。麻煩在於你知道起點的 y，卻「不」知道 y'(a)。所以「猜」一個缺失初始斜率 y'(a) 的值 s，把問題變成一個完整的初值問題，用任何 IVP 求解器（歐拉、RK4）從 a 推進到 b。你會落在某個依賴猜測的 y(b) 上——叫它 F(s)。它幾乎一定錯過要求的 beta。現在把 F(s) = beta 當作一個只含未知數 s 的方程，用求根法「解」它：能夾根就用二分法，或用牛頓／割線法快速收斂。每一次「射擊」是一次完整的 IVP 積分；你調整發射角 s 並重射，直到命中遠端邊界。名字是字面的——瞄準、發射、觀察偏差、修正、重複。

射擊法迷人地簡單，又重用你信任的 IVP 機制，這是它的一大優點。但要誠實看待它的弱點：它可能嚴重「病態」。若方程有成長模態，初始猜測 s 的微小改變到達 b 時可能被放大到天文數字，所以 F(s) 超級敏感，求根法掙扎或溢位——軌跡會因微小的瞄準誤差而「偏差千里」。補救是「多重射擊」：把 [a, b] 切成數個子區間，各自帶著自己未知的起點分別射過去，再加上匹配條件讓各段接合——求解一個更大但條件數好得多的系統。對非常敏感或多點的問題，有限差分或配置法（一次解出所有格點未知數）往往比射擊法更穩健。