正則與奇異斯圖姆－劉維爾情形（regular and singular Sturm-Liouville cases）
一條路可能全程平坦、標示清楚，也可能在某一端衝出地圖邊緣、或撞上一座被沖毀的橋。斯圖姆－劉維爾問題以同樣的方式分裂。正則的那些在一段有限路程上處處馴良、良好；奇異的那些在某個端點處出狀況、或延伸至無窮，即使它們往往是物理上更有趣的情形，也需要更多小心。
區間 a <= x <= b 上的斯圖姆－劉維爾問題 (p y')' + (q + lambda w) y = 0，當三件事成立時稱為正則：區間有限、函數 p 與 w 處處嚴格為正（包括在端點），且邊界條件是標準的分離型，每端一個整齊的條件。在這些條件下，完整理論以最乾淨的形式成立。當其中任一條失效時則稱為奇異——例如 p(x) 或 w(x) 在某端點消失、或某係數在那裡發散、或區間無限（如 0 到無窮、或整條實線）。
這個區分並非吹毛求疵，因為最重要的物理方程都是奇異的。貝索方程的 p(x) = x，在 x = 0 處為零；勒讓德的 p(x) = 1 - x^2，在 x = +1 與 -1 處消失；量子諧振子活在整條無限直線上。在這些奇異問題中，壞點處的明確邊界條件，常被一個較柔和的要求取代——只要求解在那裡保持有界、或保持平方可積。值得注意的是，正則理論的許多部分仍然存活：特徵值仍為實數，特徵函數仍正交。但驚奇也會出現，包括譜變為連續而非離散清單。
正則：[0, 1] 上附 y(0) = y(1) = 0 的 (y')' + lambda y = 0——有限區間，p = w = 1 > 0，端點整齊。奇異：[-1, 1] 上的勒讓德方程 ((1 - x^2) y')' + lambda y = 0，其中 p = 1 - x^2 在兩端點皆為零，故以「在 +1 與 -1 處有界」取代通常的邊界條件。
奇異通常在 p 於某端點消失之處進入；那裡是有界性、而非固定值，成為自然的邊界條件。
奇異並不代表不可解或病態——它只是意味著標準的正則定理需要調整。事實上，奇異問題給了我們貝索函數、勒讓德多項式與量子能階，所以在物理中它們是常態，而非例外。