倒晶格

倒晶胞體積(reciprocal cell volume)

正如真實單位晶胞包住一個體積 V(比方說以立方埃為單位),倒晶胞也包住一個體積,寫作 V*。因為倒長度是倒數長度,這個體積以倒立方單位(埃^-3)量度,而它竟是整個學科裡最簡單、最好記的關係之一。

這個關係是 V* = 1/V(在晶體學家的 1/d 慣例下)。就這樣:倒晶胞的體積是真實晶胞體積的倒數。一個寬敞的 100 埃^3 真實晶胞,對應到一個侷促的 0.01 埃^-3 倒晶胞;一個極小的真實晶胞則對應到一個廣闊的倒晶胞。這直接從星號定義推出來,因為 V* = a* . (b* x c*) = 1/[a . (b x c)] = 1/V。(在 2 pi 物理慣例下,同一結果寫作 V* = (2 pi)^3/V,因為每個星向量都帶一個 2 pi 因子。)

這條小小的公式是反比尺寸關係最鋒利的陳述,而且很有殺傷力。晶胞很大的晶體——蛋白質、沸石、複雜金屬間化合物——擁有很小的倒晶胞,意味著它的倒晶格點擠得很近,於是繞射斑點密密麻麻,你需要很細的角度解析度才能分開它們。晶胞極小的簡單金屬則把斑點甩得很開。倒晶胞體積也以歸一化因子的身分出現在電子密度計算,以及計算「每單位倒空間體積裡的狀態數」時,所以它不只是趣聞——它是一個實用的常數。

立方晶胞,a = 5 埃,所以 V = a^3 = 125 埃^3,V* = 1/125 = 0.008 埃^-3。驗算:倒晶邊 a* = 1/5 = 0.2 埃^-1,所以 (a*)^3 = 0.008 埃^-3——兩種算法一致。

V* = 1/V 是反比尺寸法則最精簡的形式。

乾淨的 V* = 1/V 只在 1/d 慣例下成立。在 2 pi 慣例下它變成 V* = (2 pi)^3/V,大了約 248 倍——這是「差了 8 pi 立方」這類錯誤常見的來源。

又稱
V*reciprocal unit cell volume倒晶胞的體積