勞赫比較定理
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若你知道你的彎曲空間處處至少和球面一樣彎，其中的測地線散開的速度便不會比球面上更快；若它至多和平坦平面一樣彎，它們散開的速度便至少和平面上一樣快。勞赫比較定理把這個「越彎越慢散」的原理化為精確的不等式。它把你流形上某雅可比場的增長，與常曲率模型空間上對應雅可比場的增長相比較，從而把曲率界直接轉化為距離行為的界。
確切地說，以其最乾淨的形式：設 M 與 M-bar 為黎曼流形，gamma、gamma-bar 各自為其中的單位速率測地線，配有皆於起點歸零（J(0) = 0）且初始導數速率相同 |J'(0)| = |J-bar'(0)| 的雅可比場 J、J-bar。設沿測地線的截面曲率滿足 K_M >= K_{M-bar}（M 較彎）。又設在該區間上 gamma-bar 尚未出現共軛點。則對直到第一個共軛點為止的所有 t 有 |J(t)| <= |J-bar(t)|——越彎意味著雅可比場增長越慢，從而更快重會、更早出現共軛點。其證明藉由比值 <J', J> / <J, J> 的巧妙單調性比較指標形式，這實為偽裝的黎卡蒂／斯圖姆比較。把 M-bar 特殊化為常曲率 k 的模型便給出明確的界：|J(t)| <= |J'(0)| 乘以 s_k(t)，其中 s_k 依 k 的符號為 sin、t 或 sinh。
勞赫是比較幾何的解析核心——此領域中幾乎每個整體定理都經由它。它蘊含在曲率下界之下共軛點來得不會更晚（驅動邦尼-邁爾斯），再結合積分便得出比肖普-格羅莫夫體積比較，而其三角形狀的推論則給出托波諾戈夫定理。誠實的注意。其一，不等式是單向的，且要求模型一側在 t 之前無共軛點；越過共軛點後比較便失效。其二，最乾淨的陳述假設下界或上界沿測地線成立，而非僅在一點——起點處的逐點界並不足夠。其三，兩流形的 K 與 R 符號慣例必須一致，否則不等式反向。
把 K_M >= 1 的流形 M 上某雅可比場與單位球面（K = 1）相比較。球面上滿足 J(0) = 0、|J'(0)| = 1 的模型場為 |J-bar(t)| = sin t。勞赫於是迫使 M 上 |J(t)| <= sin t 直到 t = pi，故 M 上的場必在不晚於模型於 t = pi 歸零之處歸零（一個共軛點）。這恰是邦尼-邁爾斯直徑結論的縮影：K >= 1 迫使在距離 pi 之前出現共軛點，從而直徑 <= pi。反轉界——若 K_M <= 0，與平坦 R^n（|J-bar(t)| = t）相比較得 |J(t)| >= t，故雅可比場至少線性增長、永不歸零：沒有共軛點，這正是卡坦-阿達瑪的輸入。
勞赫把曲率界轉為雅可比場界：K 上升迫使 |J| 下降、共軛點提前。
勞赫比較的是雅可比場，而非直接比較距離。從場的不等式推到三角形（托波諾戈夫）或體積（比肖普-格羅莫夫）陳述需要額外的積分；原始定理是沿測地線的局部結果，而非整體結果。