拉東定理（Radon's theorem）

在 n 維空間中丟進略微太多的點，它們就免不了彼此擋路。拉東定理把這點說精確：R^n 中任意 n + 2 個點總能分成兩組，其凸包相重疊。無論你在平面上如何散佈四點，你都能把它們染成紅藍，使紅色區域與藍色區域共有一點。一旦點數比維數多兩個，就有不可避免的「交叉」。

精確地說，給定 R^n 中任意 n + 2 個點 x_1, ..., x_{n+2}，存在把指標集分成兩不相交部分 I 與 J 的分割，使 conv{x_i : i in I} 與 conv{x_j : j in J} 有共同點。這樣的分割稱為拉東分割，共同點稱為拉東點。證明是純線性代數：R^n 中的 n + 2 個向量，藉附加一個 1 提升到 R^{n+1} 後線性相依，故有不全為零的係數 a_i，使 sum a_i x_i = 0 且 sum a_i = 0。把 a_i > 0 的指標放入 I、a_i < 0 的放入 J；將正部與負部規範化，從兩側各得同一個點作為凸組合——該點同時落在兩個凸包中。

拉東定理是赫利定理背後的引擎（赫利的標準證明用拉東分割作歸納），也是與赫利、卡拉特奧多里並列的組合凸性三巨頭之一。它還壯觀地推廣：特韋伯格定理說 R^n 中 (r-1)(n+1) + 1 個點能分成 r 組、其凸包全都共有一點，拉東是 r = 2 的情形。這些結果支撐中心點定理，並在組合學與棋盤複形的拓樸中有出人意表的應用。一個誠實的提醒：分割保證存在但不唯一，而拉東對共同點「在哪裡」、或在高維中如何在線性代數構造之外有效率地找到它，什麼也沒說；點也不必處於一般位置——無論如何定理都成立，但退化的配置會使多個分割同時有效。