證明一個語言不是上下文無關（proving not context-free）

把它想成一場你無論對手怎麼出招都必須贏的對抗賽。你主張語言 L「不」是上下文無關。對手堅稱它是，於是（依幫浦引理）給你一個幫浦常數 p。你的任務是拿出一個 L 中夠長的字串，讓對手隨意切成「五」段——而每一種合法切法一經抽取就離開語言。若你總能贏，就不存在合法的抽取分解，所以 L 不可能是上下文無關。

這套食譜有固定的步驟。第一步：假設 L 是上下文無關，令 p 為它（未知）的幫浦常數。第二步：挑「一個」聰明的字串 z 屬於 L，其長度至少為 p——挑得讓結構僵硬（對 a^n b^n c^n 常選 z = a^p b^p c^p）。第三步：考慮「每一種」把 z 寫成 z = u v x y z' 且滿足 |v y| >= 1 與 |v x y| <= p 的方式。界限 |v x y| <= p 是你的朋友：短窗口 v x y 至多橫跨三個字母塊中的兩個，所以抽取不可能同時抬高三個個數。第四步：在每一種情形下抽取（通常取 i = 2），顯示結果離開 L。既然沒有切法存活，矛盾——L 不是上下文無關。

除了 a^n b^n c^n 之外，兩個經典目標能磨利技巧。複製語言 ww = { w w : w 屬於 {a,b}* }「不」是上下文無關——一個堆疊無法比對兩半，因為堆疊是後進先出的（所以它天然比對的是「反轉」配對如 w w^R，而非順向複製）。而 { a^i b^j c^k : i <= j <= k }「不」是上下文無關——抽取會破壞其中一個不等式。當原始引理不好使（因為對手有一個你排除不掉的「安全」切法），就改用 Ogden 引理，或先用與正規語言取交集來隔離出更乾淨的核心。