乘積測度與 Fubini 定理（product measures and Fubini's theorem）
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你要如何為「兩個隨機試驗同時發生」建模——例如兩顆獨立的骰子，或平面上的一個隨機點？你需要一個涵蓋所有聯合結果（有序對）的單一機率，並由兩個各自的模型建構而成。乘積測度正是這個構造：它以「使兩個座標獨立」的方式，把兩個測度空間黏成一個由有序對組成的空間。Fubini 定理則是相伴的結果，告訴你在那個聯合空間上的二重積分可以一次一個座標、以任一順序計算。
給定測度為 mu 與 nu 的測度空間，有序對空間上的乘積測度 mu x nu 之定義，使得矩形 A x B 取得權重 (mu x nu)(A x B) = mu(A) 乘以 nu(B)——面積等於寬乘高——再由 Caratheodory 延拓把這條規則一致地鋪到乘積的所有可測子集上，而不僅是矩形。在機率中，若 X 的分布為 mu、Y 的分布為 nu，則「(X, Y) 的聯合分布是乘積測度」這句話，恰恰就是「X 與 Y 獨立」。Fubini 定理接著說：對一個兩變數的可測函數 f，二重積分等於任一個逐次積分——你可以先對 y 再對 x、或先對 x 再對 y，得到相同的答案：integral integral f d(mu x nu) = integral [ integral f dnu ] dmu = integral [ integral f dmu ] dnu。
這正是「對調求和或積分順序」以及「把獨立變數的聯合期望值拆開」背後的嚴格許可：E[g(X) h(Y)] = E[g(X)] 乘以 E[h(Y)]。一個常被遺忘的誠實告誡是：唯有當 f 非負（此版本稱 Tonelli），或 |f| 的二重積分有限（此即正宗 Fubini）時，對調才有保證。若 f 變號且非絕對可積，兩個逐次積分可能給出不同的有限答案，所以在交換順序前你必須先檢查 |f| 的可積性。
兩顆獨立骰子住在乘積空間 {1,...,6} x {1,...,6} 上，乘積測度給每個有序對 (i, j) 權重 (1/6)(1/6) = 1/36。Fubini 讓你能計算 E[X + Y]：對每個 i 先對 j 求和、再對 i 求和，任一順序皆可，兩者都給出 7。
把兩個空間黏起來使座標獨立，再以任一順序一次積分一個變數。
交換積分順序只在 f 非負（Tonelli）或 |f| 的積分有限（Fubini）時才安全；對變號且非絕對可積的 f，兩個逐次積分可能真的不相等。