多項式對指數成長
整個成長階層中最重要的對比，就在多項式成長（如 n^2 或 n^10）與指數成長（如 2^n）之間。初次相遇時它們感覺相似，實則天差地遠：每個多項式，無論多陡，最終都會被每個指數輾碎。這道鴻溝正是電腦科學家把問題分成「可有效解」與「未知是否可有效解」的原因。
關鍵事實，精確地說：對任何固定指數 k 與任何底數 b > 1，n^k / b^n 在 n 趨於無窮時的極限為 0。換言之，n^k = o(b^n)：無論 k 多大、底數 b 多接近 1，多項式都是指數的小o。直覺是：每當 n 增加 1，指數就乘上一個常數倍（2^(n+1) = 2 乘 2^n），而多項式只加上一個逐漸縮小的分數；反覆相乘總會超越反覆相加。具體地說，n^10 在約 n = 60 之前比 2^n 大，但越過之後指數就拉開且永不回頭，變成數百萬、進而數兆倍地更大。
為何這如此重要：指數時間演算法在極小輸入之外通常毫無用處，因為輸入只多加一個元素，執行時間就可能加倍。多項式演算法則優雅地擴展——輸入加倍只把時間乘上固定倍率（n^2 是 4 倍、n^3 是 8 倍）。誠實的細節是：「多項式」是個粗糙的標籤：n^100 演算法是多項式卻在實務上無望，而 1.001^n 演算法是指數卻對中等 n 還好。多項式與指數的界線是正確的第一刀，而非最終定論。
暴力枚舉 n 個物品的所有子集合花 2^n。n = 20 時約一百萬（瞬間）；n = 40 時約一兆（數分鐘到數小時）；n = 60 時超過一百京（實際上不可能）。多項式方法，比如 n^3，在這些相同規模下只花 8000、64000、216000——相比之下完全可忽略。
多加一個輸入元素，指數成本加倍，多項式成本卻幾乎不變。
「多項式 = 好、指數 = 壞」是正確的經驗法則，但非絕對：n^100 的多項式不切實際，而 1.001^n 的指數對中等 n 還好。常數與指數仍然重要。