極座標曲線
一旦能用「距離與方向」為點命名，你就能用一條「每個方向該往外走多遠」的規則來描述一整條曲線——形如 r = f(theta) 的方程式。從這類規則傾瀉而出的形狀，是整個幾何學中最漂亮的一些：圓、心、螺線，以及多瓣的花，其中好幾種在普通 x、y 中根本沒有整齊的方程式。
要想像一條極曲線，讓 theta 從 0 掃過一圈，在每個角度標出距極點 r = f(theta) 的那一點。常見的有幾族。最簡單的 r = a 是以極點為心、半徑為 a 的圓（距離不變、方向遍及）。心臟線 r = a(1 + cos theta) 畫出一條有單一凹點的心形曲線，在一個方向脹到 2a、在相反方向縮到 0。玫瑰線 r = a cos(n theta) 或 r = a sin(n theta) 是一朵花瓣：當 n 為奇數時有 n 瓣，n 為偶數時有 2n 瓣——一個值得記住的小驚奇。阿基米德螺線 r = a theta 以穩定速率向外盤旋，因為距離隨角度同步增長。
這些曲線不只是裝飾。心臟線描述指向性麥克風的收音方向圖，玫瑰線與螺線模擬干涉與生長，而圓錐曲線本身在以焦點為心時也有乾淨的極座標方程式，這正是極座標形式成為軌道自然語言的原因。要內化的一點是：圖形完全取決於 r 如何隨 theta 變化——r 為零之處曲線通過極點，r 最大之處曲線伸得最遠。
玫瑰線 r = 2 cos(3 theta) 的 n = 3 為奇數，所以恰好畫出 3 瓣（不是 6 瓣），每瓣在 cos(3 theta) = 1 處伸到最大距離 2。本應出現的第六瓣會重描一片已畫好的花瓣，這正是奇數 n 給出 n 瓣的原因。
對玫瑰線 r = a cos(n theta)，奇數 n 給 n 瓣、偶數 n 給 2n 瓣——一個真正的驚奇。
玫瑰線的花瓣數是經典陷阱：r = a cos(n theta) 在 n 為奇數時有 n 瓣、為偶數時有 2n 瓣，因為 n 為奇時曲線在第二圈會被重描。