龐加萊映射（Poincare map）
/ pwan-kah-RAY map /
三維中一條連續的軌跡，迴繞交織，既難看清也更難分析。亨利・龐加萊精彩的簡化是：不再盯著整條流動的曲線，而是在它的路徑上橫放一面平坦的屏幕，只記錄軌跡刺穿屏幕的那些點。平滑、糾纏的流，變成單一曲面上的一串點——而把每個點送到下一個的規則，是一個比流低一維的映射。這個降維的工具，就是龐加萊映射。
具體地說，選一個橫截於流的曲面（龐加萊截面），使軌跡乾淨地穿過它而不是沿著它跑。盯著一條軌跡，標出它沿同一方向穿過截面的那些接連的點 P0、P1、P2、…。龐加萊映射（或首次返回映射）就是把每個穿刺點送到下一個的函數 P_(n+1) = f(P_n)——它回答「已知軌道現在在哪裡穿過，下次在哪裡穿過？」。關鍵的取捨在維度上：三維中的流變成二維曲面上的映射，少了一個連續變量份量的複雜度。動力學被忠實地翻譯：流的一條週期軌道變成映射的一個不動點（它每繞一圈都回到同一處）；一條 2 週期軌道變成一個 2 週期；一個混沌的流則留下一片分形散點——奇異吸引子的一個截面。
龐加萊映射是動力系統兩半之間的橋樑：它讓強大、可視化的映射理論（不動點、週期倍增、邏輯斯諦映射的圖像）得以應用到較難的連續流世界。一條週期軌道的穩定性難以直接判斷，卻變成映射某個不動點容易檢查的穩定性。而它也是實驗者用來在真實連續系統中偵測混沌的實用儀器：每個週期取樣狀態一次，把返回點畫出來，便能讀出你看到的是一個點、一個環、還是一個分形。
對於一個以週期 T 驅動的受迫振盪器，取龐加萊截面為「每個驅動週期取樣狀態一次」。若響應是週期的且鎖定於驅動，這些快照落在一個點上。若響應的週期加倍了，它們在兩個點之間交替。若系統是混沌的，這些快照散成一片分形雲——龐加萊映射揭露了完整軌跡所隱藏的結構。
每週期取樣一次流，便把一條糾纏的曲線變成點：週期是一個點、環是幾個點、混沌是一個分形。
截面必須真正橫截於流——軌跡應該穿過它，而非沿著它擦行——否則「返回」就無從定義。而且這個映射只在局部存在，針對那些確實回到截面的軌跡；並非每個流都有一個乾淨的全域返回曲面，所以龐加萊映射是個強大的工具，而非萬用的工具。