漢克爾轉換（Hankel transform）
/ HAHN-kel /
當一個問題具有圓對稱或球對稱時——熱量從平板上一點向外擴散、一張圓形鼓面的振動、一塊石頭丟進靜止池塘激起的漣漪——解只取決於到中心的距離 r，而與角度無關。對這樣的問題用完整的二維傅立葉轉換是浪費力氣，因為你已經知道答案是徑向的。漢克爾轉換正是為這類徑向對稱問題打造的傅立葉轉換版本，直接在徑向變數 r 上運作。
傅立葉轉換用振盪的指數，而零階漢克爾轉換用貝索函數作為它的核：它是 integral from 0 to infinity of f(r) J_0(k r) r dr，其中 J_0 是零階第一類貝索函數，而額外的 r 因子是極座標中自然的面積權重（半徑 r 處的一個薄環，其面積正比於 r）。它出現的原因是結構性的：當你把二維拉普拉斯算子寫成極座標、並要求沒有角度依賴時，徑向部分恰好就是貝索算子，所以它自然的「頻率」是貝索函數、而非正弦與餘弦。正如傅立葉轉換把 u_xx 變成 -xi^2 u-hat，零階漢克爾轉換把作用在無角度依賴函數上的徑向拉普拉斯算子變成乘上 -k^2——導數又變回了一個數。
所以工作流程很熟悉：一個徑向偏微分方程，經漢克爾轉換後，變成關於轉換變數 k 的常微分方程，你把它解出再反轉（漢克爾轉換很方便地是它自己的逆轉換）。它是處理圓盤或無限平面上、帶點源的擴散或波動的自然工具，也用於許多帶圓形孔徑的光學與電磁學問題。誠實的限制是：它只在問題真正具徑向對稱時才有幫助；若有角度依賴，你必須先展開成角模態（e^(i m theta)），而每個模態 m 則使用核為 J_m（而非 J_0）的 m 階漢克爾轉換。
在一塊無限平板的中心放下一單位的熱讓它擴散：u_t = k(u_rr + (1/r) u_r)。在 r 上做漢克爾轉換，它變成 u-hat_t = -k k_var^2 u-hat（以 k_var 表轉換變數），給出 u-hat = e^(-k k_var^2 t)。反轉後重現出二維徑向高斯熱核——與你用完整的二維傅立葉轉換會得到的相同擴散，只是更直接地抵達。
對徑向問題，貝索核取代了指數，把徑向拉普拉斯算子變成 -k^2。
積分中的 r 因子不是可有可無的裝飾——它是極座標的面積元素，把它丟掉就會破壞反轉。這個轉換也要求真正的徑向對稱（或一次處理一個角模態）；它不是一個一般的二維轉換。