收斂階

收斂階衡量一個迭代過程的誤差，在迭代值逼近答案時，從一步到下一步下降得多快。若 e_n = |x_n - x*| 是第 n 步的誤差，而當 n 增大時它表現得像 e_{n+1} 約等於 C 乘以 e_n^p，則 p 是收斂階、C 是漸近常數。p 越大，誤差在答案附近崩塌得越猛烈。

有三種情況值得命名。階 p = 1 且 0 < C < 1 是線性收斂：誤差每步乘以相同因子，故幾何下降，你每步約獲得固定數目的位數——二分法（C = 1/2，每步一個二進位數）是範本。階 p = 2 是二次收斂：誤差每步平方，故正確位數每步大致加倍——簡單根附近的牛頓法是著名例子，三步內從 3 到 6 到 12 位正確數字飛奔。介於兩者之間的超線性收斂（快於線性但不到二次，如割線法的黃金階 p 約 1.618）是常見的折衷。

收斂階重要，因為它告訴你為了某個精度須付出多少次迭代，而差別巨大：二次方法用少數幾步就達到機器精度，線性方法則可能需要數十步。但階是一個局部、漸近的承諾——它只描述你已經接近答案後的行為。牛頓法只在簡單根附近、且有好的初始猜測時是二次的；從壞的起點它可能發散或循環，而在重根處其階降為線性。若迭代永遠無法靠得夠近以進入快速階段，高階就毫無用處。