廣義傅立葉級數（generalized Fourier series）
普通的傅立葉級數是一項著名發現：任何合理的週期訊號都能寫成正弦與餘弦之和。但正弦與餘弦之所以特殊，僅僅因為它們是某一個特定邊值問題的特徵函數。廣義傅立葉級數，是體認到同一招對任何完備、正交的特徵函數家族都奏效——不只是正弦與餘弦，還有貝索函數、勒讓德多項式等等。
若 {y_n} 是某斯圖姆－劉維爾問題（權重為 w）的正交特徵函數家族，則函數 f 的廣義傅立葉級數為 f(x) = sum c_n y_n(x)，其廣義傅立葉係數 c_n = (f y_n w 的積分) / (y_n^2 w 的積分)。它正是特徵函數展開，但「廣義傅立葉級數」這個名稱強調了與古典情形的平行，以及這樣一個事實：一旦你把正弦與餘弦換成 y_n、把一切以 w 加權，所有熟悉的傅立葉機制——係數公式、帕塞瓦能量恆等式、均方收斂——都原封不動地照搬過來。
這項推廣的要點在於，正確的積木取決於問題的幾何。正弦與餘弦在區間或矩形上是自然的；在圓盤上自然模態是貝索函數，在球面上是勒讓德多項式與球諧函數。在每種設置下，對應的廣義傅立葉級數，便是書寫偏微分方程之解所用的語言。古典傅立葉級數於是不過是一個龐大而統一家族中最熟悉的成員，全都源自斯圖姆－劉維爾理論。
傅立葉－貝索級數在半徑為 1 的圓盤上，用徑向特徵函數 J_0(alpha_n r) 展開一個函數，其中 alpha_n 是貝索函數 J_0 的零點。權重為 w(r) = r，故 c_n = (從 0 到 1 的 f(r) J_0(alpha_n r) r dr 的積分) / (從 0 到 1 的 J_0(alpha_n r)^2 r dr 的積分)——與傅立葉正弦級數同樣的結構，只是以 J_0 代替 sin、以權重 r 代替 1。
與古典傅立葉級數同樣的係數機制，只是換成問題特定的特徵函數與權重——這裡是以 r 加權的貝索函數。
古典的正弦與餘弦傅立葉級數並非另一套理論，而是最簡單的特例（p = 1、q = 0、w = 1）。認清這一點，可避免常見的錯誤——以為傅立葉係數公式是三角函數獨有的；其實它們是權重為 1 的同一個公式。