恰當方程（exact equation）
想像你站在山坡上，有人給你一些細小的指示：「往東走一小步，你的高度變化這麼多；往北走一小步，變化那麼多。」如果這兩個指示彼此一致——如果它們真的來自同一片地形——那麼背後就藏著一個高度函數，你也能把自己正在行走的等高線重建出來。恰當方程正是微分方程版本的這個情境：方程其實在告訴你，要待在某個隱藏函數的等位曲線上。
具體來說，寫成 M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 形式的一階方程，若其左側恰好是某個單一函數 F(x, y) 的全微分（total differential），即 dF = M dx + N dy，就稱為恰當方程。這要求 F 對 x 的偏導數等於 M，F 對 y 的偏導數等於 N。當此成立時，整個方程其實就是說 dF = 0，於是 F(x, y) = C 便是隱式解：解曲線就是 F 的等位曲線。
為何重要？因為一旦你認出方程是恰當的，求解幾乎是機械式的——不必分離變數、不必積分因子、不必猜測。問題在於大多數方程寫出來時並不恰當。所以真正的本領是一個快速的恰當性判別，再加上一個技巧（積分因子），用來修補那些差一點就恰當的方程。
考慮 (2xy) dx + (x^2 + 1) dy = 0。這裡 M = 2xy，N = x^2 + 1。隱藏函數原來是 F(x, y) = x^2 y + y，因為 partial F / partial x = 2xy = M，partial F / partial y = x^2 + 1 = N。所以解是 x^2 y + y = C，也就是 y = C / (x^2 + 1)。
恰當方程歸結為 dF = 0，所以答案就是等位曲線 F = C。
恰當性取決於方程寫成什麼形式：兩邊乘上一個函數，可能使恰當方程變得不恰當，反之亦然。積分因子正是利用這份自由度。