牛頓法的失效情形（Newton's method failure modes）

牛頓法很快，但快不等於安全。它的二次速度只是一個承諾，僅在單根的小鄰域內、起點合理、函數配合時才成立。一旦走出這些條件，牛頓法可能做出令人不安的事：飛向無窮、永遠在同兩個值之間彈跳，或慢到幾乎停滯。認識這些失效情形，正是玩具實作與穩健實作的分野。

經典的失效都源自步進公式 x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)。(1) 糟糕的起始猜測：從錯誤的區域出發，切線把你指向遠離你想要的根——牛頓法可能收斂到「另一個」根，或乾脆發散；通往某個根的起點集合（吸引盆）可以呈現極度碎形的形狀。(2) 接近零的導數：若 f'(x_n) 很小，除以它會產生巨大的步長，遠遠衝過根（平坦處像彈弓）。(3) 循環：對某些函數迭代陷入週期迴圈——標準範例是 f(x) = x^3 - 2x + 2 從 x = 0 起步，永遠在 0 與 1 之間振盪。(4) 過衝與發散：對 f(x) = arctan(x) 從離 0 太遠處起步，每步落得比前一步更遠，迭代值飛散。(5) 重根：在 f' 也消失之處，二次速度崩塌為僅線性（見重根）。

解法同樣經典且值得知道。先夾住根並保留二分法後備，使糟糕的牛頓步被否決並換成安全的一步——這正是 Brent 法與「加保護的牛頓法」的核心。用線搜尋或阻尼（只取完整牛頓步的一部分）以防高維中的過衝。留意 f'(x_n) 接近零並拒絕除以它。教訓不是牛頓法不可靠，而是「純粹、無保護的」牛頓法不可靠——實務上你總是用保護措施把它包起來。