多元牛頓法（Newton's method for systems）

許多真實問題要你解的不是一個方程，而是同時數個：找出讓十幾個耦合的非線性關係一起消失的那組值——想想配平化學反應、求電路的平衡點，或擬合物理模型。牛頓法漂亮地推廣到這個情境。單一切線變成切「平面」（整個系統的最佳線性近似），沿它走到碰零之處，意味著每一步要解一個線性系統。

把系統寫成向量方程 F(x) = 0，其中 x 是 n 個未知數的向量，F 回傳 n 個值。局部線性模型為 F(x) 約等於 F(x_n) + J(x_n)(x - x_n)，其中 J 是「雅可比矩陣」——所有偏導數構成的 n 乘 n 格子，J_ij = partial F_i / partial x_j。令模型為零，得牛頓步：解線性系統 J(x_n) * s = -F(x_n) 求步 s，再更新 x_{n+1} = x_n + s。注意我們是「解」線性系統（用 LU 分解），而非構造逆矩陣 J^-1——構造逆矩陣浪費且較不準。於是每次迭代花一次雅可比計算加一次線性求解（約 (2/3)n^3 次浮點運算）。在單根附近（J 非奇異），收斂仍是二次，與一維時相同。

與一維相同的誠實提醒，在此被放大。多元牛頓法需要好的起始猜測；離解遠時可能發散或遊蕩，所以實用程式加上線搜尋或信賴域（對步長加阻尼），使它全域上更可靠。雅可比矩陣可能昂貴或無解析式——你可用有限差分近似（額外 n 次函數計算）或自動微分，而 Broyden 法等擬牛頓法避免每步重算它。若 J 在根處奇異或病態，收斂正如近零導數傷害一維方法那樣退化。