n 維解空間（n-dimensional solution space）
把齊次線性方程的所有解想成住在同一個房間裡。一個美妙的事實是：這個房間不是雜亂無章的——它是一個平坦、組織良好的空間，就像普通的向量一樣。你把兩個解相加會得到一個解；你把一個解放大會得到一個解。而對 n 階方程，這個房間恰好有 n 個維度：n 個獨立方向，不多也不少。
這在實務上是什麼意思。取齊次方程 y^(n) + p_(n-1)(x) y^(n-1) + ... + p_0(x) y = 0。由存在唯一性定理，一個解由它在某一點的值與前 n-1 個導數所定下——那是 n 個自由度的數字。所以所有解的集合，與 n 元的起始資料完美對應，這就是一個 n 維空間。具體地說，你可以找到 n 個線性獨立的解 y1、y2、...、yn（一組基本解系），於是每一個解都是唯一的組合 y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn。這 n 個常數就是解在此空間中的 n 個座標。
這個單一的數字 n，是整套線性理論的統籌原則。它告訴你在停手之前要尋找多少個獨立的解、為什麼 n 階初值問題恰好需要 n 個初始條件、以及為什麼通解恰好有 n 個任意常數。提醒：這個乾淨的 n 維圖像，是在係數連續的區間上、對齊次方程才有保證；受迫方程的解構成這個空間的一個平移副本（仿射空間），而不是通過原點的空間。
對四階方程 y^(4) - y = 0（n = 4），四個獨立解為 e^x、e^(-x)、cos(x)、sin(x)。解空間是四維的，通解 y = c1 e^x + c2 e^(-x) + c3 cos(x) + c4 sin(x) 以四個座標命名每一個解。
n 階齊次方程的解空間維數恰好為 n。
維數 n 是獨立解的個數，而不是你恰好寫下多少個——三階方程的五個解必然有冗餘，因為空間只有三維。