切割性質（cut property）

假設你把所有城鎮分成兩組，按你喜歡的任一條線，每邊至少有一個城鎮。在所有會跨越那條分界線的電纜中，看那條最便宜的。切割性質保證：那條最便宜的跨界電纜屬於某個最小生成樹。無論你怎麼畫線，你都能完全放心地納入它。正是這一個保證，使貪婪地建造 MST 變得安全。

精確地說：一個切割把頂點分成兩個非空集合 S 與它的補集。若一條邊的兩端點各在一個集合中，它就跨越這個切割。切割性質陳述：若邊 e 是跨越某切割的最小權重邊，則 e 被包含於某個 MST。證明是一個乾淨的交換論證。取任一 MST T。若 T 已用 e，完成。否則，把 e 加進 T 恰好造出一個環，而那個環必透過某條其他邊 f 第二次跨越切割（環離開 S 後必須返回）。既然 e 是最便宜的跨界邊，weight(e) <= weight(f)。交換：移除 f，加入 e。結果仍是生成樹，且總權重沒有增加——故它也是 MST，且含有 e。因此某個 MST 含有 e。

切割性質是兩個經典 MST 演算法背後的理論引擎。普林演算法直接套用它：生長中的樹構成切割的一側，而普林總是加入離開它最便宜的邊。克魯斯卡也用它：它接受的每條邊，都是跨越那條邊所連的兩個分量之間切割的最便宜邊。一個精確的提醒：這個性質保證最便宜的跨界邊在某個 MST 中，未必在每個 MST 中，而當多條跨界邊並列為最便宜時，不同的選擇可導致不同但同樣最佳的樹。相異的權重使安全邊唯一、MST 唯一。