單值性定理（monodromy theorem）

我們剛看到，把函數從 a 延拓到 b 沿不同路徑可能給出不同答案。那麼何時我們能信任答案「不」依賴於路徑——延拓何時在整個區域上產生一個誠實的單值函數？單值性定理給出乾淨的條件：若你能沿區域內的每一條路徑延拓你的函數元素，且該區域是單連通的（沒有洞），則延拓與路徑無關，結果是整個區域上一個唯一、良好定義的解析函數。

其機制是同倫。從 a 到 b 的兩條路徑若能在保持端點固定、且始終留在區域內的條件下連續形變成彼此，便稱為同倫。定理的核心是：只要沿形變族中的每一條路徑都能延拓，沿兩條「同倫」路徑的延拓就給出相同的終點元素。直觀地說，當你把一條路徑緩慢滑向另一條時，圓盤鏈也跟著滑動，而在每一個微小步驟，延拓的唯一性逼使答案不能跳變——所以等你形變完成時它不可能已經改變。現在加上「單連通」：在這樣的區域中，「任何」兩條端點相同的路徑都同倫，因為沒有洞可以卡住。於是從 a 到 b 的所有路線一致，函數是單值的。

這就是把延拓從混亂中拯救出來的定理。它精確告訴你多值性能藏在哪裡：只在有洞的區域裡，且只因為一條路徑能以無法被形變抹去的方式繞洞一圈。對數在任何避開 0 的單連通區域上單值且良好定義（例如沿負實軸割開的平面），但在去心平面上多值，因為它在 0 的那個唯一的洞，讓一個迴圈拾得額外的 2 pi i。這個定理也是通往覆蓋空間的橋樑：單值性的障礙恰恰是區域的基本群。