混合體積（mixed volume）

把一個凸體用幾個其他凸體的縮放副本去膨脹它，問它的總體積如何增長。答案是縮放量的一個多項式，而該多項式的係數就是混合體積——衡量這些凸體在幾何上如何交互的數。它們把長度、面積、體積推廣成一個分次的家族：一個混合體積可以是「A 的若干稜乘以 B 的若干面」，一種把不同凸體邊界揉合起來的混成度量。

精確地說，對 R^n 中的凸體 K_1, ..., K_m 與非負純量 lambda_1, ..., lambda_m，閔可夫斯基定理說此膨脹組合的體積是個齊次多項式：vol(lambda_1 K_1 + ... + lambda_m K_m) = sum over (i_1,...,i_n) of V(K_{i_1}, ..., K_{i_n}) * lambda_{i_1} ... lambda_{i_n}，其中每個係數 V(K_{i_1}, ..., K_{i_n}) 是所列那 n 個凸體（容許重複）的混合體積。它們在自變數中對稱、多重線性（在閔可夫斯基加法下每個位置線性）、平移不變、且非負；V(K, ..., K) 在正規化下還原 n! 倍的尋常體積，而 V(K, ..., K, B)（B 為單位球）還原表面積。施泰納公式把 vol(K + r*B) 展成 r 的冪，正展示出內蘊體積是特殊的混合體積。

混合體積是深刻凸不等式所用的語言：布倫-閔可夫斯基是關於一個兩體混合體積多項式的陳述，而亞歷山德羅夫-芬切爾不等式是聯繫不同混合體積的母不等式。它們也在幾何之外驚人地現身——伯恩斯坦-庫什尼連科定理用一組多項式方程之牛頓多胞形的混合體積來計數其解，把凸幾何連向代數幾何。一個誠實的提醒：雖然 V 非負且對稱，但它對所有配置並非天真意義下的單調，且混合體積可能難以顯式計算——即使對多胞形，計算一般是 #P 難的，所以閉形式是特殊的恩賜、而非常態。